MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfinf 23238
Description: The infimum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfinf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbfinf.2 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
mbfinf.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbfinf.4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbfinf.5 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfinf.6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)
Assertion
Ref Expression
mbfinf (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem mbfinf
Dummy variables 𝑚 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfinf.2 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ))
2 mbfinf.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32anass1rs 845 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍𝐵) = (𝑛𝑍𝐵)
53, 4fmptd 6292 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
6 frn 5966 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ → ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ)
8 mbfinf.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 uzid 11578 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
11 mbfinf.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
1210, 11syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀𝑍)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝑍)
144, 3dmmptd 5937 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) = 𝑍)
1513, 14eleqtrrd 2691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ dom (𝑛𝑍𝐵))
16 ne0i 3880 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ dom (𝑛𝑍𝐵) → dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
18 dm0rn0 5263 . . . . . . . 8 (dom (𝑛𝑍𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) = ∅)
1918necon3bii 2834 . . . . . . 7 (dom (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ↔ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
2017, 19sylib 207 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅)
21 mbfinf.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)
22 ffn 5958 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
235, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
24 breq2 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) → (𝑦𝑧𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
2524ralrn 6270 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)))
27 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑦
28 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑛
29 nffvmpt1 6111 . . . . . . . . . . . 12 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
3027, 28, 29nfbr 4629 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚)
31 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑚 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)
32 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
3332breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛)))
3430, 31, 33cbvral 3143 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛))
35 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
364fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3735, 3, 36syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
3837breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ 𝑦𝐵))
3938ralbidva 2968 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
4034, 39syl5bb 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑚𝑍 𝑦 ≤ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
4126, 40bitrd 267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
4241rexbidv 3034 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵))
4321, 42mpbird 246 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧)
44 infrenegsup 10883 . . . . . 6 ((ran (𝑛𝑍𝐵) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑛𝑍𝐵) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)𝑦𝑧) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = -sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ))
457, 20, 43, 44syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = -sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ))
46 rabid 3095 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)))
473recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
4847adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
49 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ)
5049recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑟 ∈ ℂ)
51 negcon2 10213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (𝐵 = -𝑟𝑟 = -𝐵))
5248, 50, 51syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐵 = -𝑟𝑟 = -𝐵))
53 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = -𝐵 ↔ -𝐵 = 𝑟)
5452, 53syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐵 = -𝑟 ↔ -𝐵 = 𝑟))
5537adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = 𝐵)
5655eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟𝐵 = -𝑟))
57 negex 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -𝐵 ∈ V
58 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) = (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)
5958fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛𝑍 ∧ -𝐵 ∈ V) → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = -𝐵)
6057, 59mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = -𝐵)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = -𝐵)
6261eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟 ↔ -𝐵 = 𝑟))
6354, 56, 623bitr4d 299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
6463ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
6529nfeq1 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟
66 nffvmpt1 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚)
6766nfeq1 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟
6865, 67nfbi 1821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟)
69 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟)
7032eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟))
71 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛))
7271eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
7370, 72bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟) ↔ (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟)))
7468, 69, 73cbvral 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑚𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟) ↔ ∀𝑛𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑛) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑛) = 𝑟))
7564, 74sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ∀𝑚𝑍 (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
7675r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑚𝑍) → (((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
7776rexbidva 3031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟 ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
7823adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍)
79 fvelrnb 6153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝐵) Fn 𝑍 → (-𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (-𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑚) = -𝑟))
813renegcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → -𝐵 ∈ ℝ)
8281, 58fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵):𝑍⟶ℝ)
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵):𝑍⟶ℝ)
84 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵):𝑍⟶ℝ → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) Fn 𝑍)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) Fn 𝑍)
86 fvelrnb 6153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵) Fn 𝑍 → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ ∃𝑚𝑍 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵)‘𝑚) = 𝑟))
8877, 80, 873bitr4d 299 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (-𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵) ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
8988pm5.32da 671 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑟 ∈ ℝ ∧ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵))))
90 frn 5966 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍 ↦ -𝐵):𝑍⟶ℝ → ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ⊆ ℝ)
9182, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ⊆ ℝ)
9291sseld 3567 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ))
9392pm4.71rd 665 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵))))
9489, 93bitr4d 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑟 ∈ ℝ ∧ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)) ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
9546, 94syl5bb 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
9695alrimiv 1842 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑟(𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
97 nfrab1 3099 . . . . . . . . 9 𝑟{𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}
98 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑟ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)
9997, 98cleqf 2776 . . . . . . . 8 ({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} = ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵) ↔ ∀𝑟(𝑟 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} ↔ 𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵)))
10096, 99sylibr 223 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)} = ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵))
101100supeq1d 8235 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ) = sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
102101negeqd 10154 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ ran (𝑛𝑍𝐵)}, ℝ, < ) = -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
10345, 102eqtrd 2644 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < ) = -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
104103mpteq2dva 4672 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ inf(ran (𝑛𝑍𝐵), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )))
1051, 104syl5eq 2656 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )))
106 ltso 9997 . . . . 5 < Or ℝ
107106supex 8252 . . . 4 sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ) ∈ V
108107a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ) ∈ V)
109 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )) = (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < ))
1102anassrs 678 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
111 mbfinf.4 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
112110, 111mbfneg 23223 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
1132renegcld 10336 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → -𝐵 ∈ ℝ)
114 renegcl 10223 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
115114ad2antrl 760 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)) → -𝑦 ∈ ℝ)
116 simplr 788 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ)
1173adantlr 747 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
118116, 117lenegd 10485 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑦𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑦))
119118ralbidva 2968 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 𝑦𝐵 ↔ ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦))
120119biimpd 218 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑛𝑍 𝑦𝐵 → ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦))
121120impr 647 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)) → ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦)
122 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑧 = -𝑦 → (-𝐵𝑧 ↔ -𝐵 ≤ -𝑦))
123122ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑦 → (∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧 ↔ ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦))
124123rspcev 3282 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 -𝐵 ≤ -𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧)
125115, 121, 124syl2anc 691 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑍 𝑦𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧)
12621, 125rexlimddv 3017 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 -𝐵𝑧)
12711, 109, 8, 112, 113, 126mbfsup 23237 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )) ∈ MblFn)
128108, 127mbfneg 23223 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -sup(ran (𝑛𝑍 ↦ -𝐵), ℝ, < )) ∈ MblFn)
129105, 128eqeltrd 2688 1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  wal 1473   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  supcsup 8229  infcinf 8230  cc 9813  cr 9814   < clt 9953  cle 9954  -cneg 10146  cz 11254  cuz 11563  MblFncmbf 23189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194
This theorem is referenced by:  mbflimsup  23239
  Copyright terms: Public domain W3C validator