MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infrenegsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infrenegsup 10883
Description: The infimum of a set of reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that 𝐴 is nonempty and has a lower bound. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infrenegsup ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infrenegsup
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infrecl 10882 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21recnd 9947 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
32negnegd 10262 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → --inf(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
4 negeq 10152 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → -𝑤 = -𝑧)
54cbvmptv 4678 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧)
65mptpreima 5545 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}
7 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)
87negiso 10880 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤))
98simpri 477 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)
109imaeq1i 5382 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴)
116, 10eqtr3i 2634 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴} = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴)
1211supeq1i 8236 . . . . 5 sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = sup(((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴), ℝ, < )
138simpli 473 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)
14 isocnv 6480 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)
16 isoeq1 6467 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)))
179, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ))
1815, 17mpbi 219 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ)
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , < (ℝ, ℝ))
20 simp1 1054 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21 infm3 10861 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
22 vex 3176 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
23 vex 3176 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
2422, 23brcnv 5227 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)
2524notbii 309 . . . . . . . . . 10 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥)
2625ralbii 2963 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)
2723, 22brcnv 5227 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 < 𝑥𝑥 < 𝑦)
28 vex 3176 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
2923, 28brcnv 5227 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 < 𝑧𝑧 < 𝑦)
3029rexbii 3023 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)
3127, 30imbi12i 339 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
3231ralbii 2963 . . . . . . . . 9 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦))
3326, 32anbi12i 729 . . . . . . . 8 ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3433rexbii 3023 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
3521, 34sylibr 223 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
36 gtso 9998 . . . . . . 7 < Or ℝ
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → < Or ℝ)
3819, 20, 35, 37supiso 8264 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → sup(((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴), ℝ, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )))
3912, 38syl5eq 2656 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )))
40 df-inf 8232 . . . . . . . 8 inf(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < )
4140eqcomi 2619 . . . . . . 7 sup(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < )
4241fveq2i 6106 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘inf(𝐴, ℝ, < ))
43 negeq 10152 . . . . . . 7 (𝑤 = inf(𝐴, ℝ, < ) → -𝑤 = -inf(𝐴, ℝ, < ))
44 negex 10158 . . . . . . 7 -inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ V
4543, 7, 44fvmpt 6191 . . . . . 6 (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘inf(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
4642, 45syl5eq 2656 . . . . 5 (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
471, 46syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
4839, 47eqtr2d 2645 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -inf(𝐴, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
4948negeqd 10154 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → --inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
503, 49eqtr3d 2646 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧𝐴}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583  cmpt 4643   Or wor 4958  ccnv 5037  cima 5041  cfv 5804   Isom wiso 5805  supcsup 8229  infcinf 8230  cr 9814   < clt 9953  cle 9954  -cneg 10146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148
This theorem is referenced by:  supminf  11651  mbfinf  23238
  Copyright terms: Public domain W3C validator