Theorem negnegd 10262

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negnegd	⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negneg 10210	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → --𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ℂcc 9813  -cneg 10146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  negn0  10338  ltnegcon1  10408  ltnegcon2  10409  lenegcon1  10411  lenegcon2  10412  negfi  10850  fiminre  10851  infm3lem  10860  infrenegsup  10883  zeo  11339  zindd  11354  znnn0nn  11365  supminf  11651  zsupss  11653  max0sub  11901  xnegneg  11919  ceilid  12512  expneg  12730  expaddzlem  12765  expaddz  12766  cjcj  13728  cnpart  13828  risefallfac  14594  sincossq  14745  bitsf1  15006  pcid  15415  4sqlem10  15489  mulgnegnn  17374  mulgsubcl  17378  mulgneg  17383  mulgz  17391  mulgass  17402  ghmmulg  17495  cyggeninv  18108  tgpmulg  21707  xrhmeo  22553  cphsqrtcl3  22795  iblneg  23375  itgneg  23376  ditgswap  23429  lhop2  23582  vieta1lem2  23870  ptolemy  24052  tanabsge  24062  tanord  24088  tanregt0  24089  lognegb  24140  logtayl  24206  logtayl2  24208  cxpmul2z  24237  isosctrlem2  24349  dcubic  24373  dquart  24380  atans2  24458  amgmlem  24516  lgamucov  24564  basellem5  24611  basellem9  24615  lgsdir2lem4  24853  dchrisum0flblem1  24997  ostth3  25127  ipasslem3  27072  ftc1anclem6  32660  rexzrexnn0  36386  acongsym  36561  acongneg2  36562  acongtr  36563  binomcxplemnotnn0  37577  ltmulneg  38556  itgsin0pilem1  38841  itgsinexplem1  38845  itgsincmulx  38866  stoweidlem13  38906  fourierdlem39  39039  fourierdlem43  39043  fourierdlem44  39044  etransclem46  39173  hoicvr  39438  sigariz  39701  sigaradd  39704  amgmwlem  42357