Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isocnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isocnv 6480
 Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isocnv (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem isocnv
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6062 . . . 4 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
21adantr 480 . . 3 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → 𝐻:𝐵1-1-onto𝐴)
3 f1ocnvfv2 6433 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝑧𝐵) → (𝐻‘(𝐻𝑧)) = 𝑧)
43adantrr 749 . . . . . . 7 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → (𝐻‘(𝐻𝑧)) = 𝑧)
5 f1ocnvfv2 6433 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝑤𝐵) → (𝐻‘(𝐻𝑤)) = 𝑤)
65adantrl 748 . . . . . . 7 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → (𝐻‘(𝐻𝑤)) = 𝑤)
74, 6breq12d 4596 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ 𝑧𝑆𝑤))
87adantlr 747 . . . . 5 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ 𝑧𝑆𝑤))
9 f1of 6050 . . . . . . 7 (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴𝐻:𝐵𝐴)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝐻:𝐵𝐴)
11 ffvelrn 6265 . . . . . . . . 9 ((𝐻:𝐵𝐴𝑧𝐵) → (𝐻𝑧) ∈ 𝐴)
12 ffvelrn 6265 . . . . . . . . 9 ((𝐻:𝐵𝐴𝑤𝐵) → (𝐻𝑤) ∈ 𝐴)
1311, 12anim12dan 878 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐵𝐴 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻𝑤) ∈ 𝐴))
14 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐻𝑧) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑧)𝑅𝑦))
15 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐻𝑧) → (𝐻𝑥) = (𝐻‘(𝐻𝑧)))
1615breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐻𝑧) → ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦)))
1714, 16bibi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐻𝑧) → ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ((𝐻𝑧)𝑅𝑦 ↔ (𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦))))
18 bicom 211 . . . . . . . . . 10 (((𝐻𝑧)𝑅𝑦 ↔ (𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑧)𝑅𝑦))
1917, 18syl6bb 275 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐻𝑧) → ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑧)𝑅𝑦)))
20 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐻𝑤) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(𝐻𝑤)))
2120breq2d 4595 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐻𝑤) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤))))
22 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐻𝑤) → ((𝐻𝑧)𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2321, 22bibi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐻𝑤) → (((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑧)𝑅𝑦) ↔ ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤))))
2419, 23rspc2va 3294 . . . . . . . 8 ((((𝐻𝑧) ∈ 𝐴 ∧ (𝐻𝑤) ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2513, 24sylan 487 . . . . . . 7 (((𝐻:𝐵𝐴 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2625an32s 842 . . . . . 6 (((𝐻:𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2710, 26sylanl1 680 . . . . 5 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((𝐻‘(𝐻𝑧))𝑆(𝐻‘(𝐻𝑤)) ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
288, 27bitr3d 269 . . . 4 (((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
2928ralrimivva 2954 . . 3 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤)))
302, 29jca 553 . 2 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) → (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤))))
31 df-isom 5813 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
32 df-isom 5813 . 2 (𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ (𝐻:𝐵1-1-onto𝐴 ∧ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (𝑧𝑆𝑤 ↔ (𝐻𝑧)𝑅(𝐻𝑤))))
3330, 31, 323imtr4i 280 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐻 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804   Isom wiso 5805 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813 This theorem is referenced by:  isores1  6484  isofr  6492  isose  6493  isopo  6496  isoso  6498  weisoeq  6505  weisoeq2  6506  fnwelem  7179  oieu  8327  oemapwe  8474  cantnffval2  8475  wemapwe  8477  infxpenlem  8719  fpwwe2lem7  9337  fpwwe2lem9  9339  infrenegsup  10883  ltweuz  12622  fz1isolem  13102  ordthmeo  21415  relogiso  24148  erdsze2lem2  30440  fzisoeu  38455
 Copyright terms: Public domain W3C validator