MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infregelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infregelb 10884
Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2013.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
infregelb (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 𝐵𝑧))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infregelb
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 9997 . . . . . 6 < Or ℝ
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → < Or ℝ)
3 infm3 10861 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑤𝐴 𝑤 < 𝑦)))
4 simp1 1054 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
52, 3, 4infglbb 8280 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑤 < 𝐵))
65notbid 307 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑤𝐴 𝑤 < 𝐵))
7 infrecl 10882 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
87anim1i 590 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
98ancomd 466 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ))
10 lenlt 9995 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵))
119, 10syl 17 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ¬ inf(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵))
12 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 ssel 3562 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑤𝐴𝑤 ∈ ℝ))
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑤𝐴𝑤 ∈ ℝ))
1514imp 444 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
1612, 15lenltd 10062 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑤𝐴) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
1716ralbidva 2968 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝐴 𝐵𝑤 ↔ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 < 𝐵))
18173ad2antl1 1216 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝐴 𝐵𝑤 ↔ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 < 𝐵))
19 ralnex 2975 . . . 4 (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑤𝐴 𝑤 < 𝐵)
2018, 19syl6bb 275 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑤𝐴 𝐵𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤𝐴 𝑤 < 𝐵))
216, 11, 203bitr4d 299 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝐴 𝐵𝑤))
22 breq2 4587 . . 3 (𝑤 = 𝑧 → (𝐵𝑤𝐵𝑧))
2322cbvralv 3147 . 2 (∀𝑤𝐴 𝐵𝑤 ↔ ∀𝑧𝐴 𝐵𝑧)
2421, 23syl6bb 275 1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑧𝐴 𝐵𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583   Or wor 4958  infcinf 8230  cr 9814   < clt 9953  cle 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148
This theorem is referenced by:  infxrre  12038  minveclem2  23005  minveclem3b  23007  minveclem4  23011  minveclem6  23013  pilem2  24010  pilem3  24011  pntlem3  25098  minvecolem2  27115  minvecolem4  27120  minvecolem5  27121  minvecolem6  27122  taupi  32346  infmrgelbi  36460
  Copyright terms: Public domain W3C validator