Theorem lenlt 9995

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 9964	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 9964	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 9982	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 493	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-xr 9957  df-le 9959

This theorem is referenced by:  ltnle  9996  letri3  10002  leloe  10003  eqlelt  10004  ne0gt0  10021  lelttric  10023  lenlti  10036  lenltd  10062  ltaddsub  10381  leord1  10434  lediv1  10767  suprleub  10866  dfinfre  10881  infregelb  10884  nnge1  10923  nnnlt1  10927  avgle1  11149  avgle2  11150  nn0nlt0  11196  recnz  11328  btwnnz  11329  prime  11334  indstr  11632  uzsupss  11656  zbtwnre  11662  rpneg  11739  2resupmax  11893  fzn  12228  nelfzo  12344  fzonlt0  12360  fllt  12469  flflp1  12470  modifeq2int  12594  om2uzlt2i  12612  fsuppmapnn0fiub0  12655  suppssfz  12656  leexp2  12777  discr  12863  bcval4  12956  ccatsymb  13219  swrd0  13286  sqrtneglem  13855  harmonic  14430  efle  14687  dvdsle  14870  dfgcd2  15101  lcmf  15184  infpnlem1  15452  pgpssslw  17852  gsummoncoe1  19495  mp2pm2mplem4  20433  dvferm1  23552  dvferm2  23554  dgrlt  23826  logleb  24153  argrege0  24161  ellogdm  24185  dvlog2lem  24198  cxple  24241  cxple3  24247  asinneg  24413  birthdaylem3  24480  ppieq0  24702  chpeq0  24733  chteq0  24734  lgsval2lem  24832  lgsneg  24846  lgsdilem  24849  gausslemma2dlem1a  24890  gausslemma2dlem3  24893  ostth2lem1  25107  ostth3  25127  clwlkisclwwlklem2a  26313  rusgranumwlks  26483  frgrareg  26644  friendship  26649  nmounbi  27015  nmlno0lem  27032  nmlnop0iALT  28238  supfz  30866  inffz  30867  inffzOLD  30868  fz0n  30869  nn0prpw  31488  leceifl  32568  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem20  32599  poimirlem24  32603  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  ftc1anclem1  32655  nninfnub  32717  ellz1  36348  rencldnfilem  36402  icccncfext  38773  subsubelfzo0  40359  upgrewlkle2  40808  rusgrnumwwlks  41177  clwlkclwwlklem2a  41207  av-frgrareg  41548  av-friendship  41553  digexp  42199