MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zbtwnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zbtwnre 11662
Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zbtwnre (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem zbtwnre
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmin 11660 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
2 zre 11258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
4 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
6 ltletr 10008 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
75, 6syl3an1 1351 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
873expa 1257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
92, 8sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
10 zlem1lt 11306 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
1110adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
129, 11sylibrd 248 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → 𝑥𝑦))
1312exp4b 630 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
1413com23 84 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ → (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
1514ralrimdv 2951 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
165ltnrd 10050 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1))
17 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
18 zlem1lt 11306 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
1917, 18mpdan 699 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
2016, 19mtbird 314 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
2120ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
22 lenlt 9995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
235, 22sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
2423ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
26 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝐴𝑦𝐴 ≤ (𝑥 − 1)))
27 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥𝑦𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
2826, 27imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝐴𝑦𝑥𝑦) ↔ (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
2928rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 − 1) ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
3130imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
3231adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
3325, 32sylbird 249 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (¬ (𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
3421, 33mt3d 139 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝑥 − 1) < 𝐴)
3534ex 449 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝐴))
3615, 35impbid 201 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
37 1re 9918 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
38 ltsubadd 10377 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 < (𝐴 + 1)))
3937, 38mp3an2 1404 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 < (𝐴 + 1)))
403, 39sylan 487 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 < (𝐴 + 1)))
4136, 40bitr3d 269 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
4241ancoms 468 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
4342anbi2d 736 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1))))
4443reubidva 3102 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1))))
451, 44mpbid 221 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  ∃!wreu 2898   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cz 11254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564
This theorem is referenced by:  rebtwnz  11663  qbtwnre  11904  dfceil2  12502
  Copyright terms: Public domain W3C validator