Theorem dvlog2lem 24198

Description: Lemma for dvlog2 24199. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvlog2.s	⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)

Assertion

Ref	Expression
dvlog2lem	⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Proof of Theorem dvlog2lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlog2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
2		cnxmet 22386	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		ax-1cn 9873	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		1re 9918	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	4	rexri 9976	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ*
6		blssm 22033	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
7	2, 3, 5, 6	mp3an 1416	. . . . 5 ⊢ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
8	1, 7	eqsstri 3598	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
9	8	sseli 3564	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ℂ)
10		1m0e1 11008	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
11		mnfxr 9975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		0re 9919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		iocssre 12124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
14	11, 12, 13	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℝ
15	14	sseli 3564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ∈ ℝ)
17	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ)
18		elioc2 12107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 0)))
19	11, 12, 18	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 0))
20	19	simp3bi 1071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 0)
21	15, 16, 17, 20	lesub2dd 10523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 − 0) ≤ (1 − 𝑥))
22	10, 21	syl5eqbrr 4619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1 − 𝑥))
23		ax-resscn 9872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
24	14, 23	sstri 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℂ
25	24	sseli 3564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ∈ ℂ)
26		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
27	26	cnmetdval 22384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
28	3, 25, 27	sylancr 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(1 − 𝑥)))
29		0le1 10430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 0 ≤ 1)
31	15, 16, 17, 20, 30	letrd 10073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 𝑥 ≤ 1)
32	15, 17, 31	abssubge0d 14018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs‘(1 − 𝑥)) = (1 − 𝑥))
33	28, 32	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) = (1 − 𝑥))
34	22, 33	breqtrrd 4611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥))
35		cnmet 22385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ))
37	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℂ)
38		metcl 21947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
39	36, 37, 25, 38	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ)
40		lenlt 9995	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (1(abs ∘ − )𝑥) ∈ ℝ) → (1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥) ↔ ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
41	4, 39, 40	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (1 ≤ (1(abs ∘ − )𝑥) ↔ ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
42	34, 41	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1)
43	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
44	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → 1 ∈ ℝ*)
45		elbl2 22005	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
46	43, 44, 37, 25, 45	syl22anc 1319	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (1(abs ∘ − )𝑥) < 1))
47	42, 46	mtbird 314	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-∞(,]0) → ¬ 𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
48	47	con2i 133	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
49	48, 1	eleq2s 2706	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (-∞(,]0))
50	9, 49	eldifd 3551	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
51	50	ssriv 3572	1 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  (,]cioc 12047  abscabs 13822  ∞Metcxmt 19552  Metcme 19553  ballcbl 19554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioc 12051  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562

This theorem is referenced by:  dvlog2  24199  logtayl  24206  logtayl2  24208  efrlim  24496  lgamcvg2  24581