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Theorem frgrareg 26644

Description: If a finite friendship graph is k-regular, then k must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
frgrareg	⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))

Proof of Theorem frgrareg Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgraprop 26456	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾))
2		nn0re 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
3		1re 9918	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		lenlt 9995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
5	4	bicomd 212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (¬ 1 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 1))
6	2, 3, 5	sylancl 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (¬ 1 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 1))
7		ioran 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) ↔ (¬ 𝐾 = 0 ∧ ¬ 𝐾 = 2))
8		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
9		elnnne0 11183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ≠ 0))
10		nnle1eq1 10925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 = 1))
11		rusgrasn 26472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((#‘𝑉) = 1 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → 𝐾 = 0)
12	11	orcd 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((#‘𝑉) = 1 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
13	12	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → ((#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
15	14	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((#‘𝑉) = 1 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
16	15	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((#‘𝑉) = 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
17	16	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
18		hashcl 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ₀)
19		rusisusgra 26458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → 𝑉 USGrph 𝐸)
20		usgrav 25867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
22		hasheq0 13015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
23	22	bicomd 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 = ∅ ↔ (#‘𝑉) = 0))
24	23	necon3bid 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ≠ ∅ ↔ (#‘𝑉) ≠ 0))
25		elnnne0 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑉) ≠ 0))
26		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((#‘𝑉) ≠ 1 ↔ ¬ (#‘𝑉) = 1)
27		eluz2b3 11638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑉) ≠ 1))
28		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)))
29	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
30		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ 2 ∈ ℝ
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 2 ∈ ℝ)
32		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℤ → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
34		1lt2 11071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ 1 < 2
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℤ → 1 < 2)
36	35	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)))
37		ltletr 10008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉)))
38	37	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) ∧ (1 < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑉))) → 1 < (#‘𝑉))
39	29, 31, 33, 36, 38	syl31anc 1321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉))
40		eqeq2 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ⊢ (𝐾 = 1 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
41	40	ralbidv 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ⊢ (𝐾 = 1 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
42	41	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1)) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
43		vdgn1frgrav3 26555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1)
44		r19.26 3046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
45		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ⊢ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ↔ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1)
46	45	anbi1i 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ⊢ ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ (¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
47		ancom 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ⊢ ((¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
48		pm3.24 922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ⊢ ¬ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1)
49	48	bifal 1488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ⊢ ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ ⊥)
50	46, 47, 49	3bitri 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ⊢ ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ ⊥)
51	50	ralbii 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ⊥)
52		r19.3rzv 4016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (⊥ ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ⊥))
53		falim 1489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ⊢ (⊥ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
54	52, 53	syl6bir 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ⊥ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
55	54	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ⊥ → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
56	51, 55	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
57	44, 56	sylbir 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
58	57	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
59	43, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
60	59	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ⊢ (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
61	60	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ⊢ ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
62	61	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1)) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
63	42, 62	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1)) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
64	63	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1)) → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
65	64	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ⊢ (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
66	65	com24 93	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
67	66	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
68	67	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
69	1, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
70	69	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
71	70	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
72	71	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
73	72	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
74	39, 73	syldan 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
75	74	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
76	28, 75	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
77	27, 76	sylbir 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑉) ≠ 1) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
78	77	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((#‘𝑉) ≠ 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
79	78	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((#‘𝑉) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
80	26, 79	sylbir 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
81	80	com13 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
82	25, 81	sylbir 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
83	82	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((#‘𝑉) ≠ 0 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
84	83	com25 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((#‘𝑉) ≠ 0 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
85	84	expd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
86	24, 85	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
87	86	com13 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ V → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
88	87	pm2.43i 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ V → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
89	88	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
90	89	expd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
91	90	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
92	91	com24 93	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑉 ∈ V → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
94	21, 93	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
95	94	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
96	95	com15 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ₀ → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
97	18, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
98	97	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
99	98	com13 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
100	17, 99	pm2.61i 175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 = 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
101	10, 100	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
102	9, 101	sylbir 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≤ 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
103	102	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ≠ 0 → (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
104	103	com23 84	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ≠ 0 → (𝐾 ≤ 1 → (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
105	8, 104	sylbir 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐾 = 0 → (𝐾 ≤ 1 → (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐾 = 0 ∧ ¬ 𝐾 = 2) → (𝐾 ≤ 1 → (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
107	7, 106	sylbi 206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → (𝐾 ≤ 1 → (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
108	107	com13 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 1 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
109	6, 108	sylbid 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (¬ 1 < 𝐾 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
110	109	com25 97	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
111	110	3ad2ant2 1076	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
112	111	expd 451	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
113	1, 112	mpcom 37	. . . 4 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
114	113	impcom 445	. . 3 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
115	114	com14 94	. 2 ⊢ (¬ 1 < 𝐾 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
116		simprl 790	. . . . 5 ⊢ (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → 𝑉 FriendGrph 𝐸)
117		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
118	117	ad2antlr 759	. . . . 5 ⊢ (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → 𝑉 ∈ Fin)
119		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
120	119	ad2antlr 759	. . . . 5 ⊢ (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → 𝑉 ≠ ∅)
121		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < 𝐾)
122		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)
123	121, 122	anim12ci 589	. . . . 5 ⊢ (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾))
124		frgrareggt1 26643	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
125	124	imp 444	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾)) → 𝐾 = 2)
126	116, 118, 120, 123, 125	syl31anc 1321	. . . 4 ⊢ (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → 𝐾 = 2)
127	126	olcd 407	. . 3 ⊢ (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
128	127	exp31 628	. 2 ⊢ (1 < 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
129		2a1 28	. 2 ⊢ ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
130	115, 128, 129	pm2.61ii 176	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∨ wo 382 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ⊥wfal 1480 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 Vcvv 3173 ∅c0 3874 ⟨cop 4131 class class class wbr 4583 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 Fincfn 7841 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 < clt 9953 ≤ cle 9954 ℕcn 10897 2c2 10947 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 #chash 12979 USGrph cusg 25859 VDeg cvdg 26420 RegUSGrph crusgra 26450 FriendGrph cfrgra 26515

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-ot 4134 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-disj 4554 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-ec 7631 df-qs 7635 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-sup 8231 df-inf 8232 df-oi 8298 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-xnn0 11241 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-xadd 11823 df-ico 12052 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-fl 12455 df-mod 12531 df-seq 12664 df-exp 12723 df-hash 12980 df-word 13154 df-lsw 13155 df-concat 13156 df-s1 13157 df-substr 13158 df-reps 13161 df-csh 13386 df-s2 13444 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-clim 14067 df-sum 14265 df-dvds 14822 df-gcd 15055 df-prm 15224 df-phi 15309 df-usgra 25862 df-nbgra 25949 df-wlk 26036 df-trail 26037 df-pth 26038 df-spth 26039 df-wlkon 26042 df-spthon 26045 df-wwlk 26207 df-wwlkn 26208 df-clwwlk 26279 df-clwwlkn 26280 df-2wlkonot 26385 df-2spthonot 26387 df-2spthsot 26388 df-vdgr 26421 df-rgra 26451 df-rusgra 26452 df-frgra 26516

This theorem is referenced by: frgraregord013 26645

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