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Theorem frgrareg 26644
 Description: If a finite friendship graph is k-regular, then k must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgrareg ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))

Proof of Theorem frgrareg
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgraprop 26456 . . . . 5 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾))
2 nn0re 11178 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
3 1re 9918 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
4 lenlt 9995 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
54bicomd 212 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (¬ 1 < 𝐾𝐾 ≤ 1))
62, 3, 5sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 1 < 𝐾𝐾 ≤ 1))
7 ioran 510 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) ↔ (¬ 𝐾 = 0 ∧ ¬ 𝐾 = 2))
8 df-ne 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
9 elnnne0 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
10 nnle1eq1 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 = 1))
11 rusgrasn 26472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑉) = 1 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → 𝐾 = 0)
1211orcd 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑉) = 1 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
1312expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → ((#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
1514com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑉) = 1 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
1615a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑉) = 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
1716a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
18 hashcl 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
19 rusisusgra 26458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 USGrph 𝐸)
20 usgrav 25867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
22 hasheq0 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑉 ∈ V → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
2322bicomd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑉 ∈ V → (𝑉 = ∅ ↔ (#‘𝑉) = 0))
2423necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ≠ ∅ ↔ (#‘𝑉) ≠ 0))
25 elnnne0 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0))
26 df-ne 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((#‘𝑉) ≠ 1 ↔ ¬ (#‘𝑉) = 1)
27 eluz2b3 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑉) ≠ 1))
28 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)))
293a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
30 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 2 ∈ ℝ)
32 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((#‘𝑉) ∈ ℤ → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
34 1lt2 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1 < 2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((#‘𝑉) ∈ ℤ → 1 < 2)
3635anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)))
37 ltletr 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉)))
3837imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) ∧ (1 < 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑉))) → 1 < (#‘𝑉))
3929, 31, 33, 36, 38syl31anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉))
40 eqeq2 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (𝐾 = 1 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
4140ralbidv 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
4241ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1)) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
43 vdgn1frgrav3 26555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1)
44 r19.26 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 (∀𝑣𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
45 df-ne 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ↔ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1)
4645anbi1i 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ (¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
47 ancom 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ((¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1))
48 pm3.24 922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ¬ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1)
4948bifal 1488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ ⊥)
5046, 47, 493bitri 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ ⊥)
5150ralbii 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 (∀𝑣𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) ↔ ∀𝑣𝑉 ⊥)
52 r19.3rzv 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 (𝑉 ≠ ∅ → (⊥ ↔ ∀𝑣𝑉 ⊥))
53 falim 1489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 (⊥ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
5452, 53syl6bir 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ⊥ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5554com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 (∀𝑣𝑉 ⊥ → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5651, 55sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 (∀𝑣𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5744, 56sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ((∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5857ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 1 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5943, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6059expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6160ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6261impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1)) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 1 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6342, 62sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1)) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6463com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1)) → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6564ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6665com24 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6766com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
68673ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
691, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7069impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝑉 ≠ ∅ → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7170impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7271com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) ∧ 𝐾 = 1) → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7372ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7439, 73syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
75743adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7628, 75sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7727, 76sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑉) ≠ 1) → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7877expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((#‘𝑉) ≠ 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7978com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((#‘𝑉) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
8026, 79sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
8180com13 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
8225, 81sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
8382expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((#‘𝑉) ≠ 0 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
8483com25 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((#‘𝑉) ≠ 0 → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
8584expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
8624, 85syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
8786com13 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ V → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
8887pm2.43i 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ V → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
8988imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
9089expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
9190expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
9291com24 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 ∈ V → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))))
9421, 93mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
9594imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
9695com15 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
9718, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
9897imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
9998com13 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
10017, 99pm2.61i 175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
10110, 100syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
1029, 101sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≤ 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
103102expcom 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ≠ 0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
104103com23 84 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ≠ 0 → (𝐾 ≤ 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
1058, 104sylbir 224 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = 0 → (𝐾 ≤ 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
106105adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐾 = 0 ∧ ¬ 𝐾 = 2) → (𝐾 ≤ 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
1077, 106sylbi 206 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → (𝐾 ≤ 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
108107com13 86 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
1096, 108sylbid 229 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 1 < 𝐾 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
110109com25 97 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
1111103ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
112111expd 451 . . . . 5 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))))
1131, 112mpcom 37 . . . 4 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
114113impcom 445 . . 3 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
115114com14 94 . 2 (¬ 1 < 𝐾 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
116 simprl 790 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → 𝑉 FriendGrph 𝐸)
117 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
118117ad2antlr 759 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → 𝑉 ∈ Fin)
119 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
120119ad2antlr 759 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → 𝑉 ≠ ∅)
121 simpl 472 . . . . . 6 ((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < 𝐾)
122 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)
123121, 122anim12ci 589 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾))
124 frgrareggt1 26643 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
125124imp 444 . . . . 5 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾)) → 𝐾 = 2)
126116, 118, 120, 123, 125syl31anc 1321 . . . 4 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → 𝐾 = 2)
127126olcd 407 . . 3 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
128127exp31 628 . 2 (1 < 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
129 2a1 28 . 2 ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
130115, 128, 129pm2.61ii 176 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ⊥wfal 1480   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  #chash 12979   USGrph cusg 25859   VDeg cvdg 26420   RegUSGrph crusgra 26450   FriendGrph cfrgra 26515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-reps 13161  df-csh 13386  df-s2 13444  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-spth 26039  df-wlkon 26042  df-spthon 26045  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280  df-2wlkonot 26385  df-2spthonot 26387  df-2spthsot 26388  df-vdgr 26421  df-rgra 26451  df-rusgra 26452  df-frgra 26516 This theorem is referenced by:  frgraregord013  26645
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