Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheq0 13015
 Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hasheq0 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0
StepHypRef Expression
1 pnfnre 9960 . . . . . . 7 +∞ ∉ ℝ
21neli 2885 . . . . . 6 ¬ +∞ ∈ ℝ
3 hashinf 12984 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞)
43eleq1d 2672 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
52, 4mtbiri 316 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (#‘𝐴) ∈ ℝ)
6 id 22 . . . . . 6 ((#‘𝐴) = 0 → (#‘𝐴) = 0)
7 0re 9919 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
86, 7syl6eqel 2696 . . . . 5 ((#‘𝐴) = 0 → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
95, 8nsyl 134 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (#‘𝐴) = 0)
10 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11 0fin 8073 . . . . . . 7 ∅ ∈ Fin
1210, 11syl6eqel 2696 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
1312con3i 149 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
1413adantl 481 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
159, 142falsed 365 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
1615ex 449 . 2 (𝐴𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17 hashen 12997 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
1811, 17mpan2 703 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = (#‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19 fz10 12233 . . . . . 6 (1...0) = ∅
2019fveq2i 6106 . . . . 5 (#‘(1...0)) = (#‘∅)
21 0nn0 11184 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
22 hashfz1 12996 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → (#‘(1...0)) = 0)
2321, 22ax-mp 5 . . . . 5 (#‘(1...0)) = 0
2420, 23eqtr3i 2634 . . . 4 (#‘∅) = 0
2524eqeq2i 2622 . . 3 ((#‘𝐴) = (#‘∅) ↔ (#‘𝐴) = 0)
26 en0 7905 . . 3 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2718, 25, 263bitr3g 301 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
2816, 27pm2.61d2 171 1 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  hashneq0  13016  hashnncl  13018  hash0  13019  hashgt0  13038  hashle00  13049  seqcoll2  13106  prprrab  13112  hashge2el2difr  13118  wrdind  13328  wrd2ind  13329  swrdccat3a  13345  swrdccat3blem  13346  rev0  13364  repsw0  13375  cshwidx0  13403  fz1f1o  14288  hashbc0  15547  0hashbc  15549  ram0  15564  cshws0  15646  gsmsymgrfix  17671  sylow1lem1  17836  sylow1lem4  17839  sylow2blem3  17860  frgpnabllem1  18099  0ringnnzr  19090  01eq0ring  19093  vieta1lem2  23870  tgldimor  25197  upgredg  25811  isusgra0  25876  usgraop  25879  usgrafisindb0  25937  wwlkn0s  26233  clwwlkgt0  26299  hashecclwwlkn1  26361  usghashecclwwlk  26362  vdusgra0nedg  26435  usgravd0nedg  26445  vdn0frgrav2  26550  vdgn0frgrav2  26551  frgrawopreg  26576  frgregordn0  26597  frgrareg  26644  frgraregord013  26645  frgraregord13  26646  frgraogt3nreg  26647  friendshipgt3  26648  hasheuni  29474  signstfvn  29972  signstfveq0a  29979  signshnz  29994  elmrsubrn  30671  uhgr0vsize0  40465  uhgr0edgfi  40466  usgr1v0e  40545  fusgrfisbase  40547  vtxd0nedgb  40703  vtxdusgr0edgnelALT  40711  usgrvd0nedg  40749  cyclnsPth  41006  iswwlksnx  41042  isclwwlksnx  41197  umgrclwwlksge2  41219  clwwisshclwws  41235  hashecclwwlksn1  41261  umgrhashecclwwlk  41262  vdn0conngrumgrv2  41363  frgrwopreg  41486  frrusgrord0  41503  av-frgraregord013  41549  av-frgraregord13  41550  av-frgraogt3nreg  41551  av-friendshipgt3  41552  lindsrng01  42051
 Copyright terms: Public domain W3C validator