Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2difr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashge2el2difr 13118
 Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2difr ((𝐷𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦) → 2 ≤ (#‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2difr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashv01gt1 12995 . . 3 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 ∨ (#‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐷)))
2 hasheq0 13015 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = ∅))
3 rexeq 3116 . . . . . . 7 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦))
4 rex0 3894 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦
5 pm2.21 119 . . . . . . . 8 (¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
64, 5mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
73, 6sylbid 229 . . . . . 6 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
82, 7syl6bi 242 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
98com12 32 . . . 4 ((#‘𝐷) = 0 → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
10 hash1snb 13068 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 1 ↔ ∃𝑧 𝐷 = {𝑧}))
11 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = {𝑧} → 𝐷 = {𝑧})
12 rexeq 3116 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦))
1311, 12rexeqbidv 3130 . . . . . . . . 9 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦))
14 vex 3176 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
15 neeq1 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))
1615rexbidv 3034 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦))
1714, 16rexsn 4170 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦)
18 neeq2 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑧𝑦𝑧𝑧))
1914, 18rexsn 4170 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦𝑧𝑧)
2017, 19bitri 263 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦𝑧𝑧)
2113, 20syl6bb 275 . . . . . . . 8 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦𝑧𝑧))
22 equid 1926 . . . . . . . . 9 𝑧 = 𝑧
23 eqneqall 2793 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑧 → (𝑧𝑧 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
2422, 23mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐷 = {𝑧} → (𝑧𝑧 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
2521, 24sylbid 229 . . . . . . 7 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
2625exlimiv 1845 . . . . . 6 (∃𝑧 𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
2710, 26syl6bi 242 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 1 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
2827com12 32 . . . 4 ((#‘𝐷) = 1 → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
29 hashnn0pnf 12992 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐷) = +∞))
30 1z 11284 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
31 nn0z 11277 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (#‘𝐷) ∈ ℤ)
32 zltp1le 11304 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
3332biimpd 218 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
3430, 31, 33sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
35 df-2 10956 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3635breq1i 4590 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝐷))
3734, 36syl6ibr 241 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
38 2re 10967 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
3938rexri 9976 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
40 pnfge 11840 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
4139, 40mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ +∞)
42 breq2 4587 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐷) = +∞ → (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ 2 ≤ +∞))
4341, 42mpbird 246 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ (#‘𝐷))
4443a1d 25 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐷) = +∞ → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
4537, 44jaoi 393 . . . . . . . 8 (((#‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐷) = +∞) → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
4629, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
4746impcom 445 . . . . . 6 ((1 < (#‘𝐷) ∧ 𝐷𝑉) → 2 ≤ (#‘𝐷))
4847a1d 25 . . . . 5 ((1 < (#‘𝐷) ∧ 𝐷𝑉) → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
4948ex 449 . . . 4 (1 < (#‘𝐷) → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
509, 28, 493jaoi 1383 . . 3 (((#‘𝐷) = 0 ∨ (#‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐷)) → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
511, 50mpcom 37 . 2 (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
5251imp 444 1 ((𝐷𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦) → 2 ≤ (#‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13119  structgrssvtxlem  25700
 Copyright terms: Public domain W3C validator