Theorem hashge2el2difr 13118

Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2difr	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (#‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2difr

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashv01gt1 12995	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 ∨ (#‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐷)))
2		hasheq0 13015	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = ∅))
3		rexeq 3116	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦))
4		rex0 3894	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦
5		pm2.21 119	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
6	4, 5	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
7	3, 6	sylbid 229	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
8	2, 7	syl6bi 242	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
9	8	com12 32	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐷) = 0 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
10		hash1snb 13068	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐷) = 1 ↔ ∃𝑧 𝐷 = {𝑧}))
11		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → 𝐷 = {𝑧})
12		rexeq 3116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
13	11, 12	rexeqbidv 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦))
14		vex 3176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
15		neeq1 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑦))
16	15	rexbidv 3034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦))
17	14, 16	rexsn 4170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦)
18		neeq2 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
19	14, 18	rexsn 4170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
20	17, 19	bitri 263	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧)
21	13, 20	syl6bb 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑧 ≠ 𝑧))
22		equid 1926	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 = 𝑧
23		eqneqall 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑧 → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
24	22, 23	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (𝑧 ≠ 𝑧 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
25	21, 24	sylbid 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
26	25	exlimiv 1845	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
27	10, 26	syl6bi 242	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐷) = 1 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
28	27	com12 32	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐷) = 1 → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
29		hashnn0pnf 12992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐷) = +∞))
30		1z 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
31		nn0z 11277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (#‘𝐷) ∈ ℤ)
32		zltp1le 11304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
33	32	biimpd 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
34	30, 31, 33	sylancr 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
35		df-2 10956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
36	35	breq1i 4590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝐷))
37	34, 36	syl6ibr 241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
38		2re 10967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
39	38	rexri 9976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
40		pnfge 11840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
41	39, 40	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ +∞)
42		breq2 4587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐷) = +∞ → (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ 2 ≤ +∞))
43	41, 42	mpbird 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ (#‘𝐷))
44	43	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐷) = +∞ → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
45	37, 44	jaoi 393	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐷) = +∞) → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
46	29, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
47	46	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (#‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 2 ≤ (#‘𝐷))
48	47	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((1 < (#‘𝐷) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
49	48	ex 449	. . . 4 ⊢ (1 < (#‘𝐷) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
50	9, 28, 49	3jaoi 1383	. . 3 ⊢ (((#‘𝐷) = 0 ∨ (#‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐷)) → (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
51	1, 50	mpcom 37	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
52	51	imp 444	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦) → 2 ≤ (#‘𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13119  structgrssvtxlem  25700