Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vtxd0nedgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxd0nedgb 40703
 Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxd0nedgb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxd0nedgb.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxd0nedgb.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxd0nedgb (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑖)

Proof of Theorem vtxd0nedgb
StepHypRef Expression
1 vtxd0nedgb.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6104 . . . 4 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3 vtxd0nedgb.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 vtxd0nedgb.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5 eqid 2610 . . . . 5 dom 𝐼 = dom 𝐼
63, 4, 5vtxdgval 40684 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})))
72, 6syl5eq 2656 . . 3 (𝑈𝑉 → (𝐷𝑈) = ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})))
87eqeq1d 2612 . 2 (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0))
9 fvex 6113 . . . . . . . 8 (iEdg‘𝐺) ∈ V
104, 9eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V
1110dmex 6991 . . . . . 6 dom 𝐼 ∈ V
1211rabex 4740 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V
13 hashxnn0 12989 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V → (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0*)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0*
1511rabex 4740 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V
16 hashxnn0 12989 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V → (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*
1814, 17pm3.2i 470 . . 3 ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
19 xnn0xadd0 11949 . . 3 (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*) → (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
2018, 19mp1i 13 . 2 (𝑈𝑉 → (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
21 hasheq0 13015 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V → ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅))
2212, 21ax-mp 5 . . . . 5 ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅)
23 hasheq0 13015 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V → ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅))
2415, 23ax-mp 5 . . . . 5 ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅)
2522, 24anbi12i 729 . . . 4 (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅))
26 rabeq0 3911 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))
27 rabeq0 3911 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈})
2826, 27anbi12i 729 . . . 4 (({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
29 ralnex 2975 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3029bicomi 213 . . . . . 6 (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
31 ioran 510 . . . . . . 7 (¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3231ralbii 2963 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
33 r19.26 3046 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3430, 32, 333bitri 285 . . . . 5 (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3534bicomi 213 . . . 4 ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3625, 28, 353bitri 285 . . 3 (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
37 snidg 4153 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈})
38 eleq2 2677 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑖) = {𝑈} → (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ 𝑈 ∈ {𝑈}))
3937, 38syl5ibrcom 236 . . . . . . 7 (𝑈𝑉 → ((𝐼𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
40 pm4.72 916 . . . . . . 7 (((𝐼𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)) ↔ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))))
4139, 40sylib 207 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))))
42 orcom 401 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4341, 42syl6rbbr 278 . . . . 5 (𝑈𝑉 → ((𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4443rexbidv 3034 . . . 4 (𝑈𝑉 → (∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4544notbid 307 . . 3 (𝑈𝑉 → (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4636, 45syl5bb 271 . 2 (𝑈𝑉 → (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
478, 20, 463bitrd 293 1 (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕ0*cxnn0 11240   +𝑒 cxad 11820  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  VtxDegcvtxdg 40681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vtxdg 40682 This theorem is referenced by:  vtxduhgr0nedg  40707  vtxduhgr0edgnel  40709  1loopgrvd0  40719  1hevtxdg0  40720
 Copyright terms: Public domain W3C validator