Theorem vtxd0nedgb 40703

Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxd0nedgb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxd0nedgb.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxd0nedgb.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxd0nedgb	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑖)

Proof of Theorem vtxd0nedgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxd0nedgb.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 6104	. . . 4 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3		vtxd0nedgb.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxd0nedgb.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ dom 𝐼 = dom 𝐼
6	3, 4, 5	vtxdgval 40684	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})))
7	2, 6	syl5eq 2656	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐷‘𝑈) = ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})))
8	7	eqeq1d 2612	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})) = 0))
9		fvex 6113	. . . . . . . 8 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
10	4, 9	eqeltri 2684	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ V
11	10	dmex 6991	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 ∈ V
12	11	rabex 4740	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} ∈ V
13		hashxnn0 12989	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} ∈ V → (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0*)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0*
15	11	rabex 4740	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V
16		hashxnn0 12989	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V → (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*
18	14, 17	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
19		xnn0xadd0 11949	. . 3 ⊢ (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*) → (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
20	18, 19	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
21		hasheq0 13015	. . . . . 6 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} ∈ V → ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅))
22	12, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅)
23		hasheq0 13015	. . . . . 6 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V → ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅))
24	15, 23	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅)
25	22, 24	anbi12i 729	. . . 4 ⊢ (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅))
26		rabeq0 3911	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖))
27		rabeq0 3911	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈})
28	26, 27	anbi12i 729	. . . 4 ⊢ (({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
29		ralnex 2975	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
30	29	bicomi 213	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
31		ioran 510	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ (¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
32	31	ralbii 2963	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
33		r19.26 3046	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼(¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
34	30, 32, 33	3bitri 285	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
35	34	bicomi 213	. . . 4 ⊢ ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
36	25, 28, 35	3bitri 285	. . 3 ⊢ (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
37		snidg 4153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈})
38		eleq2 2677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} → (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ 𝑈 ∈ {𝑈}))
39	37, 38	syl5ibrcom 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
40		pm4.72 916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼‘𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)) ↔ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖))))
41	39, 40	sylib 207	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖))))
42		orcom 401	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
43	41, 42	syl6rbbr 278	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
44	43	rexbidv 3034	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
45	44	notbid 307	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
46	36, 45	syl5bb 271	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (#‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
47	8, 20, 46	3bitrd 293	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕ₀^*cxnn0 11240   +_𝑒 cxad 11820  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  VtxDegcvtxdg 40681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vtxdg 40682

This theorem is referenced by:  vtxduhgr0nedg  40707  vtxduhgr0edgnel  40709  1loopgrvd0  40719  1hevtxdg0  40720