Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iswwlksnx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iswwlksnx 41042
 Description: Properties of a word to represent a walk of a fixed length, definition of WWalkS expanded. (Contributed by AV, 28-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iswwlksnx.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iswwlksnx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
iswwlksnx (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem iswwlksnx
StepHypRef Expression
1 iswwlksn 41041 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
2 iswwlksnx.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 iswwlksnx.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
42, 3iswwlks 41039 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5 df-3an 1033 . . . . . . 7 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
6 nn0p1gt0 11199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
76gt0ne0d 10471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
87adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≠ 0)
9 neeq1 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑊) ≠ 0 ↔ (𝑁 + 1) ≠ 0))
109adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((#‘𝑊) ≠ 0 ↔ (𝑁 + 1) ≠ 0))
118, 10mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (#‘𝑊) ≠ 0)
12 hasheq0 13015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
1312necon3bid 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 ↔ 𝑊 ≠ ∅))
1411, 13syl5ibcom 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
1514pm4.71rd 665 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)))
1615bicomd 212 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
1716anbi1d 737 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
185, 17syl5bb 271 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
194, 18syl5bb 271 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
2019ex 449 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))))
2120pm5.32rd 670 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
22 df-3an 1033 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2321, 22syl6bbr 277 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
241, 23bitrd 267 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∅c0 3874  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792  WWalkScwwlks 41028   WWalkSN cwwlksn 41029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034 This theorem is referenced by:  wwlksubclwwlks  41232
 Copyright terms: Public domain W3C validator