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Theorem frgrwopreg 41486
 Description: In a friendship graph there are either no vertices or exactly one vertex having degree K, or all or all except one vertices have degree K. TODO-AV: proof can be shortened by using bj-mp2d 31702 after it is moved to main set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreg (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸

Proof of Theorem frgrwopreg
Dummy variables 𝑏 𝑦 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrwopreg.d . . 3 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3 frgrwopreg.a . . 3 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . 3 𝐵 = (𝑉𝐴)
51, 2, 3, 4frgrwopreglem1 41481 . 2 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
6 hashv01gt1 12995 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐴)))
7 hashv01gt1 12995 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)))
86, 7anim12i 588 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐴)) ∧ ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵))))
9 hasheq0 13015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ V → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
109biimpd 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ V → ((#‘𝐴) = 0 → 𝐴 = ∅))
1110adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((#‘𝐴) = 0 → 𝐴 = ∅))
1211impcom 445 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → 𝐴 = ∅)
1312olcd 407 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → ((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅))
1413orcd 406 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
1514a1d 25 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
1615ex 449 . . . . . 6 ((#‘𝐴) = 0 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
1716a1d 25 . . . . 5 ((#‘𝐴) = 0 → (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
18 orc 399 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) = 1 → ((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅))
1918orcd 406 . . . . . . . 8 ((#‘𝐴) = 1 → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
2019a1d 25 . . . . . . 7 ((#‘𝐴) = 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
2120a1d 25 . . . . . 6 ((#‘𝐴) = 1 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
2221a1d 25 . . . . 5 ((#‘𝐴) = 1 → (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
23 hasheq0 13015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
2423biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 → 𝐵 = ∅))
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((#‘𝐵) = 0 → 𝐵 = ∅))
2625impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝐵) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → 𝐵 = ∅)
2726olcd 407 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐵) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))
2827olcd 407 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐵) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
2928a1d 25 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐵) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
3029ex 449 . . . . . . . 8 ((#‘𝐵) = 0 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
3130a1d 25 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) = 0 → (1 < (#‘𝐴) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
32 orc 399 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) = 1 → ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))
3332olcd 407 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐵) = 1 → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
3433a1d 25 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐵) = 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
3534a1d 25 . . . . . . . 8 ((#‘𝐵) = 1 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
3635a1d 25 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) = 1 → (1 < (#‘𝐴) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
37 frgrwopreg.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (Edg‘𝐺)
381, 2, 3, 4, 37frgrwopreglem5 41485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
39383expb 1258 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵))) → ∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
40 frgrusgr 41432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
41 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ USGraph )
42 elrabi 3328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾} → 𝑎𝑉)
4342, 3eleq2s 2706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎𝐴𝑎𝑉)
4443ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → 𝑎𝑉)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑎𝑉)
463rabeq2i 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾))
4746simplbi 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥𝐴𝑥𝑉)
4847ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → 𝑥𝑉)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝑉)
50 simpr1r 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) → 𝑎𝑥)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → 𝑎𝑥)
5251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑎𝑥)
5345, 49, 523jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (𝑎𝑉𝑥𝑉𝑎𝑥))
544eleq2i 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏𝐵𝑏 ∈ (𝑉𝐴))
55 eldif 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 ∈ (𝑉𝐴) ↔ (𝑏𝑉 ∧ ¬ 𝑏𝐴))
5654, 55bitri 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏𝐵 ↔ (𝑏𝑉 ∧ ¬ 𝑏𝐴))
5756simplbi 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏𝐵𝑏𝑉)
5857ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑏𝑉)
594eleq2i 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝑉𝐴))
60 eldif 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ (𝑉𝐴) ↔ (𝑦𝑉 ∧ ¬ 𝑦𝐴))
6159, 60bitri 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦𝐵 ↔ (𝑦𝑉 ∧ ¬ 𝑦𝐴))
6261simplbi 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝐵𝑦𝑉)
6362ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝑉)
64 simpr1l 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) → 𝑏𝑦)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → 𝑏𝑦)
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝑏𝑦)
6758, 63, 663jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝑉𝑦𝑉𝑏𝑦))
68 prcom 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {𝑥, 𝑏} = {𝑏, 𝑥}
6968eleq1i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ({𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)
7069biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ({𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)
7170anim2i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
72 prcom 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 {𝑎, 𝑦} = {𝑦, 𝑎}
7372eleq1i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)
7473biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 → {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)
7574anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) → ({𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
7675ancomd 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
7771, 76anim12i 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
78773adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
7978ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
801, 374cyclusnfrgr 41462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑎𝑉𝑥𝑉𝑎𝑥) ∧ (𝑏𝑉𝑦𝑉𝑏𝑦)) → ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)) → 𝐺 ∉ FriendGraph ))
8180imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑎𝑉𝑥𝑉𝑎𝑥) ∧ (𝑏𝑉𝑦𝑉𝑏𝑦)) ∧ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
8241, 53, 67, 79, 81syl31anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
83 df-nel 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
8482, 83sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
8584pm2.21d 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) ∧ (𝑏𝐵𝑦𝐵)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
8685exp41 636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ USGraph → (((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → ((𝑏𝐵𝑦𝐵) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))))
8786com25 97 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → ((𝑏𝐵𝑦𝐵) → (((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))))
8840, 87mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑎𝐴𝑥𝐴) → ((𝑏𝐵𝑦𝐵) → (((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
8988imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → ((𝑏𝐵𝑦𝐵) → (((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
9089rexlimdvv 3019 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝐴𝑥𝐴)) → (∃𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
9190rexlimdvva 3020 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
9291adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵))) → (∃𝑎𝐴𝑥𝐴𝑏𝐵𝑦𝐵 ((𝑏𝑦𝑎𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
9339, 92mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵))) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
9493expcom 450 . . . . . . . . 9 ((1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
9594a1d 25 . . . . . . . 8 ((1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
9695expcom 450 . . . . . . 7 (1 < (#‘𝐵) → (1 < (#‘𝐴) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
9731, 36, 963jaoi 1383 . . . . . 6 (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → (1 < (#‘𝐴) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
9897com12 32 . . . . 5 (1 < (#‘𝐴) → (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
9917, 22, 983jaoi 1383 . . . 4 (((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐴)) → (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
10099imp 444 . . 3 ((((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐴)) ∧ ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵))) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
1018, 100mpcom 37 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
1025, 101ax-mp 5 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∉ wnel 2781  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379  VtxDegcvtxdg 40681   FriendGraph cfrgr 41428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-uhgr 25724  df-ushgr 25725  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-nbgr 40554  df-vtxdg 40682  df-frgr 41429 This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  41489
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