Theorem frgrwopreg 41486

Description: In a friendship graph there are either no vertices or exactly one vertex having degree K, or all or all except one vertices have degree K. TODO-AV: proof can be shortened by using bj-mp2d 31702 after it is moved to main set.mm. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreg	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸

Proof of Theorem frgrwopreg

Dummy variables 𝑏 𝑦 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	frgrwopreglem1 41481	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
6		hashv01gt1 12995	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐴)))
7		hashv01gt1 12995	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)))
8	6, 7	anim12i 588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐴)) ∧ ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵))))
9		hasheq0 13015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
10	9	biimpd 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((#‘𝐴) = 0 → 𝐴 = ∅))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((#‘𝐴) = 0 → 𝐴 = ∅))
12	11	impcom 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐴) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → 𝐴 = ∅)
13	12	olcd 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐴) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → ((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅))
14	13	orcd 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐴) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
15	14	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐴) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
16	15	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐴) = 0 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
17	16	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐴) = 0 → (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
18		orc 399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → ((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅))
19	18	orcd 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
20	19	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
21	20	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
22	21	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
23		hasheq0 13015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
24	23	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 → 𝐵 = ∅))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((#‘𝐵) = 0 → 𝐵 = ∅))
26	25	impcom 445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘𝐵) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → 𝐵 = ∅)
27	26	olcd 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝐵) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))
28	27	olcd 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝐵) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
29	28	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐵) = 0 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
30	29	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐵) = 0 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
31	30	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐵) = 0 → (1 < (#‘𝐴) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
32		orc 399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐵) = 1 → ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))
33	32	olcd 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐵) = 1 → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
34	33	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐵) = 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
35	34	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐵) = 1 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
36	35	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐵) = 1 → (1 < (#‘𝐴) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
37		frgrwopreg.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
38	1, 2, 3, 4, 37	frgrwopreglem5 41485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵)) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
39	38	3expb 1258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵))) → ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
40		frgrusgr 41432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
41		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ USGraph )
42		elrabi 3328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾} → 𝑎 ∈ 𝑉)
43	42, 3	eleq2s 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ 𝑉)
44	43	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
46	3	rabeq2i 3170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑥) = 𝐾))
47	46	simplbi 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑉)
48	47	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
50		simpr1r 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) → 𝑎 ≠ 𝑥)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑎 ≠ 𝑥)
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ≠ 𝑥)
53	45, 49, 52	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥))
54	4	eleq2i 2680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ 𝐴))
55		eldif 3550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ 𝐴) ↔ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝐴))
56	54, 55	bitri 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝐴))
57	56	simplbi 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝑉)
58	57	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
59	4	eleq2i 2680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ 𝐴))
60		eldif 3550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑉 ∖ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
61	59, 60	bitri 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
62	61	simplbi 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝑉)
63	62	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝑉)
64		simpr1l 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) → 𝑏 ≠ 𝑦)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑏 ≠ 𝑦)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ≠ 𝑦)
67	58, 63, 66	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦))
68		prcom 4211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {𝑥, 𝑏} = {𝑏, 𝑥}
69	68	eleq1i 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ({𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)
70	69	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ({𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸 → {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸)
71	70	anim2i 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸))
72		prcom 4211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ {𝑎, 𝑦} = {𝑦, 𝑎}
73	72	eleq1i 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)
74	73	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 → {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)
75	74	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) → ({𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
76	75	ancomd 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))
77	71, 76	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
78	77	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
79	78	ad3antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)))
80	1, 37	4cyclusnfrgr 41462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦)) → ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸)) → 𝐺 ∉ FriendGraph ))
81	80	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑦)) ∧ (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑥} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑎} ∈ 𝐸))) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
82	41, 53, 67, 79, 81	syl31anc 1321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
83		df-nel 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
84	82, 83	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
85	84	pm2.21d 117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
86	85	exp41 636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))))
87	86	com25 97	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))))
88	40, 87	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
89	88	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
90	89	rexlimdvv 3019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
91	90	rexlimdvva 3020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵))) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ 𝑦 ∧ 𝑎 ≠ 𝑥) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑏} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑎, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
93	39, 92	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵))) → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))
94	93	expcom 450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
95	94	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < (#‘𝐴) ∧ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
96	95	expcom 450	. . . . . . 7 ⊢ (1 < (#‘𝐵) → (1 < (#‘𝐴) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
97	31, 36, 96	3jaoi 1383	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → (1 < (#‘𝐴) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
98	97	com12 32	. . . . 5 ⊢ (1 < (#‘𝐴) → (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
99	17, 22, 98	3jaoi 1383	. . . 4 ⊢ (((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐴)) → (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))))
100	99	imp 444	. . 3 ⊢ ((((#‘𝐴) = 0 ∨ (#‘𝐴) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐴)) ∧ ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵))) → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))))
101	8, 100	mpcom 37	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅))))
102	5, 101	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((#‘𝐴) = 1 ∨ 𝐴 = ∅) ∨ ((#‘𝐵) = 1 ∨ 𝐵 = ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∉ wnel 2781  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379  VtxDegcvtxdg 40681   FriendGraph cfrgr 41428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-uhgr 25724  df-ushgr 25725  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-nbgr 40554  df-vtxdg 40682  df-frgr 41429

This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  41489