Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frrusgrord0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrusgrord0 41503
 Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frrusgrord0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frrusgrord0 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem frrusgrord0
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 41432 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
21anim1i 590 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3 frrusgrord0.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43isfusgr 40537 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
52, 4sylibr 223 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
63fusgreghash2wsp 41502 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
75, 6stoic3 1692 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
87imp 444 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
93frgrhash2wsp 41497 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
109adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
11 eqeq1 2614 . . . . . 6 ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
12 hashcl 13009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
1312nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
14 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ Fin → 1 ∈ ℂ)
1513, 14subcld 10271 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
16153ad2ant2 1076 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
184biimpri 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
19 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
203, 19fusgrregdegfi 40769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
2118, 20stoic3 1692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
221, 21syl3an1 1351 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
2322imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
24 nn0cn 11179 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
25 kcnktkm1cn 10340 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
27133ad2ant2 1076 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
29 hasheq0 13015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
3029biimpd 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅))
3130necon3d 2803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (#‘𝑉) ≠ 0))
3231imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ≠ 0)
33323adant1 1072 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ≠ 0)
3433adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) ≠ 0)
3517, 26, 28, 34mulcand 10539 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ ((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
36 1cnd 9935 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 1 ∈ ℂ)
37 subadd2 10164 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = (#‘𝑉)))
38 eqcom 2617 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = (#‘𝑉) ↔ (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
3937, 38syl6bb 275 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
4039biimpd 218 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
4128, 36, 26, 40syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
4235, 41sylbid 229 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
4342com12 32 . . . . . 6 (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
4411, 43syl6bi 242 . . . . 5 ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
4544com23 84 . . . 4 ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
4610, 45mpcom 37 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
478, 46mpd 15 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
4847ex 449 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Vtxcvtx 25673   USGraph cusgr 40379   FinUSGraph cfusgr 40535  VtxDegcvtxdg 40681   WSPathsN cwwspthsn 41031   FriendGraph cfrgr 41428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-uhgr 25724  df-ushgr 25725  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-fusgr 40536  df-nbgr 40554  df-vtxdg 40682  df-1wlks 40800  df-wlks 40801  df-wlkson 40802  df-trls 40901  df-trlson 40902  df-pths 40923  df-spths 40924  df-pthson 40925  df-spthson 40926  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-wwlksnon 41035  df-wspthsn 41036  df-wspthsnon 41037  df-frgr 41429 This theorem is referenced by:  frrusgrord  41504
 Copyright terms: Public domain W3C validator