Theorem frrusgrord0 41503

Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frrusgrord0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frrusgrord0	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem frrusgrord0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrusgr 41432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
2	1	anim1i 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3		frrusgrord0.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	isfusgr 40537	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
5	2, 4	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
6	3	fusgreghash2wsp 41502	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
7	5, 6	stoic3 1692	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
8	7	imp 444	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
9	3	frgrhash2wsp 41497	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
11		eqeq1 2614	. . . . . 6 ⊢ ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
12		hashcl 13009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
14		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → 1 ∈ ℂ)
15	13, 14	subcld 10271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
18	4	biimpri 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
19		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
20	3, 19	fusgrregdegfi 40769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))
21	18, 20	stoic3 1692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))
22	1, 21	syl3an1 1351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))
23	22	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
24		nn0cn 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
25		kcnktkm1cn 10340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
27	13	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
29		hasheq0 13015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
30	29	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 → 𝑉 = ∅))
31	30	necon3d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (#‘𝑉) ≠ 0))
32	31	imp 444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ≠ 0)
33	32	3adant1 1072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ≠ 0)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) ≠ 0)
35	17, 26, 28, 34	mulcand 10539	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ ((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
36		1cnd 9935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 1 ∈ ℂ)
37		subadd2 10164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = (#‘𝑉)))
38		eqcom 2617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = (#‘𝑉) ↔ (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
39	37, 38	syl6bb 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
40	39	biimpd 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
41	28, 36, 26, 40	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
42	35, 41	sylbid 229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
43	42	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
44	11, 43	syl6bi 242	. . . . 5 ⊢ ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
45	44	com23 84	. . . 4 ⊢ ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
46	10, 45	mpcom 37	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
47	8, 46	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
48	47	ex 449	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979  Vtxcvtx 25673   USGraph cusgr 40379   FinUSGraph cfusgr 40535  VtxDegcvtxdg 40681   WSPathsN cwwspthsn 41031   FriendGraph cfrgr 41428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-uhgr 25724  df-ushgr 25725  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-fusgr 40536  df-nbgr 40554  df-vtxdg 40682  df-1wlks 40800  df-wlks 40801  df-wlkson 40802  df-trls 40901  df-trlson 40902  df-pths 40923  df-spths 40924  df-pthson 40925  df-spthson 40926  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-wwlksnon 41035  df-wspthsn 41036  df-wspthsnon 41037  df-frgr 41429

This theorem is referenced by:  frrusgrord  41504