Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgrhash2wsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrhash2wsp 41497
 Description: The number of simple paths of length 2 is n*(n-1) in a friendship graph with n vertices. This corresponds to the proof of claim 3 in [Huneke] p. 2: "... the paths of length two in G: by assumption there are ( n 2 ) such paths.". However, the order of vertices is not respected by Huneke, so he only counts half of the paths which are existing when respecting the order as it is the case for simple paths represented by words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrhash2wsp.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrhash2wsp ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem frgrhash2wsp
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11062 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
2 frgrhash2wsp.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32wspniunwspnon 41130 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
41, 3mpan 702 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
54fveq2d 6107 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (#‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
65adantr 480 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (#‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
7 simprl 790 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝑉 ∈ Fin)
8 diffi 8077 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin)
98ad2antrl 760 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin)
109adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin)
112eleq1i 2679 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
12 wspthnonfi 41129 . . . . . . . . 9 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1311, 12sylbi 206 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1413ad2antrl 760 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1514adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1615ralrimivw 2950 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
17 iunfi 8137 . . . . 5 (((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin ∧ ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin) → 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1810, 16, 17syl2anc 691 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
1922wspiundisj 41166 . . . . 5 Disj 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)
2019a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → Disj 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
217, 18, 20hashiun 14395 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (#‘ 𝑎𝑉 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = Σ𝑎𝑉 (#‘ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
2215adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∈ Fin)
2322wspdisj 41165 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
2423adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
2510, 22, 24hashiun 14395 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → (#‘ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(#‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
26 simplll 794 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
27 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
28 eldifi 3694 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑉)
2927, 28anim12i 588 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
30 eldifsni 4261 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑎)
3130necomd 2837 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎𝑏)
3231adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝑎𝑏)
332frgr2wsp1 41495 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) → (#‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
3426, 29, 32, 33syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (#‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = 1)
3534sumeq2dv 14281 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(#‘(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})1)
36 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
378, 36jctir 559 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ))
3837adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ))
3938adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝑉) → ((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ))
40 fsumconst 14364 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∖ {𝑎}) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})1 = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑎})) · 1))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝑉) → Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})1 = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑎})) · 1))
42 hashdifsn 13063 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑎𝑉) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑎})) = ((#‘𝑉) − 1))
4342adantlr 747 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝑉) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑎})) = ((#‘𝑉) − 1))
4443oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝑉) → ((#‘(𝑉 ∖ {𝑎})) · 1) = (((#‘𝑉) − 1) · 1))
45 hashnncl 13018 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑉 ≠ ∅))
4645biimpar 501 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ∈ ℕ)
47 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
4948nn0red 11229 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℝ)
50 ax-1rid 9885 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑉) − 1) ∈ ℝ → (((#‘𝑉) − 1) · 1) = ((#‘𝑉) − 1))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (((#‘𝑉) − 1) · 1) = ((#‘𝑉) − 1))
5251adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝑉) → (((#‘𝑉) − 1) · 1) = ((#‘𝑉) − 1))
5341, 44, 523eqtrd 2648 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑎𝑉) → Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})1 = ((#‘𝑉) − 1))
5453adantll 746 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → Σ𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})1 = ((#‘𝑉) − 1))
5525, 35, 543eqtrd 2648 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ 𝑎𝑉) → (#‘ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = ((#‘𝑉) − 1))
5655sumeq2dv 14281 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → Σ𝑎𝑉 (#‘ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = Σ𝑎𝑉 ((#‘𝑉) − 1))
57 hashcl 13009 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
5857nn0cnd 11230 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
59 1cnd 9935 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → 1 ∈ ℂ)
6058, 59subcld 10271 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
61 fsumconst 14364 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℂ) → Σ𝑎𝑉 ((#‘𝑉) − 1) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
6260, 61mpdan 699 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → Σ𝑎𝑉 ((#‘𝑉) − 1) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
6362ad2antrl 760 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → Σ𝑎𝑉 ((#‘𝑉) − 1) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
6456, 63eqtrd 2644 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → Σ𝑎𝑉 (#‘ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})(𝑎(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
656, 21, 643eqtrd 2648 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
66653impb 1252 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (#‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((#‘𝑉) · ((#‘𝑉) − 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {csn 4125  ∪ ciun 4455  Disj wdisj 4553  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Σcsu 14264  Vtxcvtx 25673   WSPathsN cwwspthsn 41031   WSPathsNOn cwwspthsnon 41032   FriendGraph cfrgr 41428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-1wlks 40800  df-wlks 40801  df-wlkson 40802  df-trls 40901  df-trlson 40902  df-pths 40923  df-spths 40924  df-pthson 40925  df-spthson 40926  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-wwlksnon 41035  df-wspthsn 41036  df-wspthsnon 41037  df-frgr 41429 This theorem is referenced by:  frrusgrord0  41503
 Copyright terms: Public domain W3C validator