Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2wspdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wspdisj 41165
 Description: All simple paths of length 2 from a fixed vertex to another vertex are disjunct. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Mar-2018.) (Revised by AV, 14-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2wspdisj.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
2wspdisj ((𝐺𝑈𝐴𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐺,𝑏   𝑈,𝑏   𝑉,𝑏

Proof of Theorem 2wspdisj
Dummy variables 𝑐 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 399 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
21a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑐 → ((((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑐 ∉ {𝐴}) → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)))
3 wspthneq1eq2 41056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) → (𝐴 = 𝐴𝑏 = 𝑐))
43simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) → 𝑏 = 𝑐)
54ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) → (𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
65con3d 147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) → (¬ 𝑏 = 𝑐 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)))
76impcom 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑏 = 𝑐𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
87ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 = 𝑐 → ∀𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ¬ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
98adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑏 = 𝑐 ∧ (((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑐 ∉ {𝐴})) → ∀𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ¬ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
10 disj 3969 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅ ↔ ∀𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ¬ 𝑡 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
119, 10sylibr 223 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑏 = 𝑐 ∧ (((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑐 ∉ {𝐴})) → ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)
1211olcd 407 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑏 = 𝑐 ∧ (((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑐 ∉ {𝐴})) → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
1312ex 449 . . . . . . . . 9 𝑏 = 𝑐 → ((((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑐 ∉ {𝐴}) → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)))
142, 13pm2.61i 175 . . . . . . . 8 ((((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑐 ∉ {𝐴}) → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
1514ex 449 . . . . . . 7 (((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑐 ∉ {𝐴} → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)))
1615ralrimiva 2949 . . . . . 6 ((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) → ∀𝑐𝑉 (𝑐 ∉ {𝐴} → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)))
17 raldifb 3712 . . . . . 6 (∀𝑐𝑉 (𝑐 ∉ {𝐴} → (𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
1816, 17sylib 207 . . . . 5 ((((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) ∧ 𝑏 ∉ {𝐴}) → ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
1918ex 449 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐴𝑉) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑏 ∉ {𝐴} → ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)))
2019ralrimiva 2949 . . 3 ((𝐺𝑈𝐴𝑉) → ∀𝑏𝑉 (𝑏 ∉ {𝐴} → ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)))
21 raldifb 3712 . . 3 (∀𝑏𝑉 (𝑏 ∉ {𝐴} → ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅)) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
2220, 21sylib 207 . 2 ((𝐺𝑈𝐴𝑉) → ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
23 oveq2 6557 . . 3 (𝑏 = 𝑐 → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) = (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐))
2423disjor 4567 . 2 (Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝑏 = 𝑐 ∨ ((𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ∩ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑐)) = ∅))
2522, 24sylibr 223 1 ((𝐺𝑈𝐴𝑉) → Disj 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝐴})(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝑏))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125  Disj wdisj 4553  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2c2 10947  Vtxcvtx 25673   WSPathsNOn cwwspthsnon 41032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-wlkson 40802  df-trls 40901  df-trlson 40902  df-pths 40923  df-spths 40924  df-pthson 40925  df-spthson 40926  df-wwlksnon 41035  df-wspthsnon 41037 This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  41497
 Copyright terms: Public domain W3C validator