Theorem diffi 8077

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 3699	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 8065	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  Fincfn 7841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-om 6958  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845

This theorem is referenced by:  dif1en  8078  unfi  8112  dif1card  8716  hashun2  13033  hashun3  13034  hashssdif  13061  hashdifpr  13064  hashfun  13084  hashf1lem2  13097  incexc  14408  fprodeq0g  14564  fprodfvdvdsd  14896  ramub1lem1  15568  ramub1lem2  15569  prmdvdsprmo  15584  psgnprfval  17764  sylow2alem2  17856  sylow2a  17857  gsummgp0  18431  psgnfix1  19763  psgndiflemB  19765  psgndif  19767  zrhcopsgndif  19768  dmatmul  20122  submaval  20206  1marepvsma1  20208  gsummatr01lem3  20282  gsummatr01  20284  smadiadetlem3  20293  smadiadet  20295  cramerimplem1  20308  cmpcld  21015  alexsubALTlem3  21663  cldsubg  21724  xrge0gsumle  22444  amgm  24517  rpvmasum2  25001  cusgrafilem3  26009  frghash2spot  26590  usgreghash2spotv  26593  gsummptres  29115  gsumesum  29448  ballotlemfp1  29880  ballotlemgun  29913  subfacp1lem1  30415  subfacp1lem3  30418  topdifinfindis  32370  matunitlindflem1  32575  poimirlem25  32604  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  poimirlem30  32609  elrfi  36275  eldioph2lem1  36341  eldioph2lem2  36342  pellexlem5  36415  fsumnncl  38638  fsumsplit1  38639  fprod0  38663  dvmptfprodlem  38834  stoweidlem44  38937  stoweidlem57  38950  fourierdlem42  39042  fourierdlem102  39101  fourierdlem114  39113  etransclem25  39152  etransclem35  39162  hspmbllem2  39517  fsummsndifre  40371  fsummmodsndifre  40373  cusgrfilem3  40673  frgrhash2wsp  41497  fusgreghash2wspv  41499  mgpsumunsn  41933  mgpsumz  41934  mgpsumn  41935