Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unfi 8112
 Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
unfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem unfi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 8077 . 2 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
2 reeanv 3086 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω (𝐴𝑥 ∧ (𝐵𝐴) ≈ 𝑦) ↔ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ ω (𝐵𝐴) ≈ 𝑦))
3 isfi 7865 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
4 isfi 7865 . . . . 5 ((𝐵𝐴) ∈ Fin ↔ ∃𝑦 ∈ ω (𝐵𝐴) ≈ 𝑦)
53, 4anbi12i 729 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin) ↔ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 ∧ ∃𝑦 ∈ ω (𝐵𝐴) ≈ 𝑦))
62, 5bitr4i 266 . . 3 (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω (𝐴𝑥 ∧ (𝐵𝐴) ≈ 𝑦) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin))
7 nnacl 7578 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 +𝑜 𝑦) ∈ ω)
8 unfilem3 8111 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ≈ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥))
9 entr 7894 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴) ≈ 𝑦𝑦 ≈ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)) → (𝐵𝐴) ≈ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥))
109expcom 450 . . . . . . 7 (𝑦 ≈ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥) → ((𝐵𝐴) ≈ 𝑦 → (𝐵𝐴) ≈ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)))
118, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐵𝐴) ≈ 𝑦 → (𝐵𝐴) ≈ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)))
12 disjdif 3992 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
13 disjdif 3992 . . . . . . . 8 (𝑥 ∩ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)) = ∅
14 unen 7925 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑥 ∧ (𝐵𝐴) ≈ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅ ∧ (𝑥 ∩ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)) = ∅)) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ≈ (𝑥 ∪ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)))
1512, 13, 14mpanr12 717 . . . . . . 7 ((𝐴𝑥 ∧ (𝐵𝐴) ≈ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ≈ (𝑥 ∪ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)))
16 undif2 3996 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
1716a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵))
18 nnaword1 7596 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑥 ⊆ (𝑥 +𝑜 𝑦))
19 undif 4001 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ (𝑥 +𝑜 𝑦) ↔ (𝑥 ∪ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)) = (𝑥 +𝑜 𝑦))
2018, 19sylib 207 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ∪ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)) = (𝑥 +𝑜 𝑦))
2117, 20breq12d 4596 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ≈ (𝑥 ∪ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)) ↔ (𝐴𝐵) ≈ (𝑥 +𝑜 𝑦)))
2215, 21syl5ib 233 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑥 ∧ (𝐵𝐴) ≈ ((𝑥 +𝑜 𝑦) ∖ 𝑥)) → (𝐴𝐵) ≈ (𝑥 +𝑜 𝑦)))
2311, 22sylan2d 498 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑥 ∧ (𝐵𝐴) ≈ 𝑦) → (𝐴𝐵) ≈ (𝑥 +𝑜 𝑦)))
24 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥 +𝑜 𝑦) → ((𝐴𝐵) ≈ 𝑧 ↔ (𝐴𝐵) ≈ (𝑥 +𝑜 𝑦)))
2524rspcev 3282 . . . . . 6 (((𝑥 +𝑜 𝑦) ∈ ω ∧ (𝐴𝐵) ≈ (𝑥 +𝑜 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ω (𝐴𝐵) ≈ 𝑧)
26 isfi 7865 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ Fin ↔ ∃𝑧 ∈ ω (𝐴𝐵) ≈ 𝑧)
2725, 26sylibr 223 . . . . 5 (((𝑥 +𝑜 𝑦) ∈ ω ∧ (𝐴𝐵) ≈ (𝑥 +𝑜 𝑦)) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
287, 23, 27syl6an 566 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑥 ∧ (𝐵𝐴) ≈ 𝑦) → (𝐴𝐵) ∈ Fin))
2928rexlimivv 3018 . . 3 (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω (𝐴𝑥 ∧ (𝐵𝐴) ≈ 𝑦) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
306, 29sylbir 224 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
311, 30sylan2 490 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ωcom 6957   +𝑜 coa 7444   ≈ cen 7838  Fincfn 7841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845 This theorem is referenced by:  unfi2  8114  difinf  8115  xpfi  8116  prfi  8120  tpfi  8121  fnfi  8123  iunfi  8137  pwfilem  8143  fsuppun  8177  fsuppunfi  8178  ressuppfi  8184  fiin  8211  cantnfp1lem1  8458  ficardun2  8908  ackbij1lem6  8930  ackbij1lem16  8940  fin23lem28  9045  fin23lem30  9047  isfin1-3  9091  axcclem  9162  hashun  13032  hashunlei  13072  hashmap  13082  hashbclem  13093  hashf1lem1  13096  hashf1lem2  13097  hashf1  13098  fsummsnunz  14327  fsumsplitsnun  14328  incexclem  14407  isumltss  14419  fprodsplitsn  14559  lcmfunsnlem2lem1  15189  lcmfunsnlem2lem2  15190  lcmfunsnlem2  15191  lcmfun  15196  ramub1lem1  15568  fpwipodrs  16987  acsfiindd  17000  symgfisg  17711  gsumzunsnd  18178  gsumunsnfd  18179  psrbagaddcl  19191  mplsubg  19258  mpllss  19259  dsmmacl  19904  fctop  20618  uncmp  21016  bwth  21023  lfinun  21138  locfincmp  21139  comppfsc  21145  1stckgenlem  21166  ptbasin  21190  cfinfil  21507  fin1aufil  21546  alexsubALTlem3  21663  tmdgsum  21709  tsmsfbas  21741  tsmsgsum  21752  tsmsres  21757  tsmsxplem1  21766  prdsmet  21985  prdsbl  22106  icccmplem2  22434  rrxmval  22996  rrxmet  22999  rrxdstprj1  23000  ovolfiniun  23076  volfiniun  23122  fta1glem2  23730  fta1lem  23866  aannenlem2  23888  aalioulem2  23892  dchrfi  24780  usgrafilem2  25941  vdgrfiun  26429  konigsberg  26514  ffsrn  28892  eulerpartlemt  29760  ballotlemgun  29913  lindsenlbs  32574  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  itg2addnclem2  32632  ftc1anclem7  32661  ftc1anc  32663  prdsbnd  32762  pclfinN  34204  elrfi  36275  mzpcompact2lem  36332  eldioph2  36343  lsmfgcl  36662  fiuneneq  36794  fsumsplitsn  38637  dvmptfprodlem  38834  dvnprodlem2  38837  fourierdlem50  39049  fourierdlem51  39050  fourierdlem54  39053  fourierdlem76  39075  fourierdlem80  39079  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem114  39113  sge0resplit  39299  sge0iunmptlemfi  39306  sge0xaddlem1  39326  hoiprodp1  39478  sge0hsphoire  39479  hoidmvlelem1  39485  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem5  39489  hspmbllem2  39517  fsummmodsnunz  40374  usgrfilem  40546  mndpsuppfi  41950
 Copyright terms: Public domain W3C validator