MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diffi Structured version   Unicode version

Theorem diffi 7747
Description: If  A is finite,  ( A  \  B ) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
diffi  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem diffi
StepHypRef Expression
1 difss 3631 . 2  |-  ( A 
\  B )  C_  A
2 ssfi 7737 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( A  \  B
)  e.  Fin )
31, 2mpan2 671 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    \ cdif 3473    C_ wss 3476   Fincfn 7513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-om 6679  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517
This theorem is referenced by:  dif1enOLD  7748  dif1en  7749  unfi  7783  dif1card  8384  hashun2  12415  hashun3  12416  hashssdif  12436  hashfun  12457  hashf1lem2  12467  incexc  13608  ramub1lem1  14399  ramub1lem2  14400  psgnran  16336  psgnprfval  16342  sylow2alem2  16434  sylow2a  16435  gsummgp0  17040  psgnfix1  18401  psgndiflemB  18403  psgndif  18405  zrhcopsgndif  18406  dmatmul  18766  submaval  18850  1marepvsma1  18852  gsummatr01lem3  18926  gsummatr01  18928  smadiadetlem3  18937  smadiadet  18939  cramerimplem1  18952  cmpcld  19668  alexsubALTlem3  20284  cldsubg  20344  xrge0gsumle  21073  amgm  23048  rpvmasum2  23425  cusgrafilem3  24157  frghash2spot  24740  usgreghash2spotv  24743  gsumesum  27707  ballotlemfp1  28070  ballotlemgun  28103  subfacp1lem1  28263  subfacp1lem3  28266  elrfi  30230  eldioph2lem1  30297  eldioph2lem2  30298  pellexlem5  30373  hashssle  31074  stoweidlem44  31344  stoweidlem57  31357  fourierdlem42  31449  fourierdlem102  31509  fourierdlem114  31521  fsummsndifre  31814  fsummmodsndifre  31816  mgpsumunsn  32015  mgpsumz  32016  mgpsumn  32017
  Copyright terms: Public domain W3C validator