MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diffi Structured version   Unicode version

Theorem diffi 7548
Description: If  A is finite,  ( A  \  B ) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
diffi  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem diffi
StepHypRef Expression
1 difss 3488 . 2  |-  ( A 
\  B )  C_  A
2 ssfi 7538 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  B ) 
C_  A )  -> 
( A  \  B
)  e.  Fin )
31, 2mpan2 671 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756    \ cdif 3330    C_ wss 3333   Fincfn 7315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-om 6482  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319
This theorem is referenced by:  dif1enOLD  7549  dif1en  7550  unfi  7584  dif1card  8182  hashun2  12151  hashun3  12152  hashssdif  12172  hashfun  12204  hashf1lem2  12214  incexc  13305  ramub1lem1  14092  ramub1lem2  14093  psgnran  16026  psgnprfval  16030  sylow2alem2  16122  sylow2a  16123  gsummgp0  16704  psgnfix1  18033  psgndiflemB  18035  psgndif  18037  zrhcopsgndif  18038  submaval  18397  1marepvsma1  18399  gsummatr01lem3  18468  gsummatr01  18470  smadiadetlem3  18479  smadiadet  18481  cramerimplem1  18494  cmpcld  19010  alexsubALTlem3  19626  cldsubg  19686  xrge0gsumle  20415  amgm  22389  rpvmasum2  22766  cusgrafilem3  23394  gsumesum  26515  ballotlemfp1  26879  ballotlemgun  26912  subfacp1lem1  27072  subfacp1lem3  27075  elrfi  29035  eldioph2lem1  29103  eldioph2lem2  29104  pellexlem5  29179  stoweidlem44  29844  stoweidlem57  29857  fsummsndifre  30242  fsummmodsndifre  30244  frghash2spot  30661  usgreghash2spotv  30664  mgpsumunsn  30764  mgpsumz  30765  mgpsumn  30766  dmatmul  30881
  Copyright terms: Public domain W3C validator