Theorem xrge0gsumle 22444

Description: A finite sum in the nonnegative extended reals is monotonic in the support. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0gsumle.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0gsumle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0gsumle.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0gsumle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
xrge0gsumle.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrge0gsumle	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))

Proof of Theorem xrge0gsumle

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12127	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrge0gsumle.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		xrsbas 19581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 15758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
6		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
7	6	xrge0subm 19606	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
8		xrex 11705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ* ∈ V
9		difexg 4735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
11		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12		ge0nemnf 11878	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
13	11, 12	jca 553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
14		elxrge0 12152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
15		eldifsn 4260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
16	13, 14, 15	3imtr4i 280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
17	16	ssriv 3572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
18		ressabs 15766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
19	10, 17, 18	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
20	2, 19	eqtr4i 2635	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
21	6	xrs10 19604	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
22	20, 21	subm0 17179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g‘𝐺))
23	7, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
24		xrge0cmn 19607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
25	2, 24	eqeltri 2684	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
27		elfpw 8151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
28	27	simprbi 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
30		xrge0gsumle.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
31	27	simplbi 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
32		fssres 5983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
33	30, 31, 32	syl2an 493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
34		c0ex 9913	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ∈ V)
36	33, 29, 35	fdmfifsupp 8168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠) finSupp 0)
37	5, 23, 26, 29, 33, 36	gsumcl 18139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
38	1, 37	sseldi 3566	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ ℝ*)
39		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
40	38, 39	fmptd 6292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
41		frn 5966	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
42	40, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
43		0ss 3924	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
44		0fin 8073	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
45		elfpw 8151	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
46	43, 44, 45	mpbir2an 957	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
47		0cn 9911	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
48		reseq2 5312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
49		res0 5321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
50	48, 49	syl6eq 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = ∅)
51	50	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
52	23	gsum0 17101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0
53	51, 52	syl6eq 2660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = 0)
54	39, 53	elrnmpt1s 5294	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
55	46, 47, 54	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
56	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
57	42, 56	sseldd 3569	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
58	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
59		xrge0gsumle.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
60		elfpw 8151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ Fin))
61	60	simprbi 479	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
62	59, 61	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
63		diffi 8077	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
64	62, 63	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
65	60	simplbi 475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
66	59, 65	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
67	66	ssdifssd 3710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐴)
68	30, 67	fssresd 5984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)):(𝐵 ∖ 𝐶)⟶(0[,]+∞))
69	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
70	68, 64, 69	fdmfifsupp 8168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) finSupp 0)
71	5, 23, 58, 64, 68, 70	gsumcl 18139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞))
72	1, 71	sseldi 3566	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ*)
73		xrge0gsumle.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
74		ssfi 8065	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
75	62, 73, 74	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
76	73, 66	sstrd 3578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
77	30, 76	fssresd 5984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶(0[,]+∞))
78	77, 75, 69	fdmfifsupp 8168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) finSupp 0)
79	5, 23, 58, 75, 77, 78	gsumcl 18139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ (0[,]+∞))
80	1, 79	sseldi 3566	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ ℝ*)
81		elxrge0 12152	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
82	81	simprbi 479	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
83	71, 82	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
84		xleadd2a 11956	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) ∈ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
85	57, 72, 80, 83, 84	syl31anc 1321	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) ≤ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
86		xaddid1 11946	. . 3 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ∈ ℝ* → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)))
87	80, 86	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 0) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)))
88		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
89		xrsadd 19582	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
90	2, 89	ressplusg 15818	. . . . 5 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝐺))
91	88, 90	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝐺)
92	30, 66	fssresd 5984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶(0[,]+∞))
93	92, 62, 69	fdmfifsupp 8168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵) finSupp 0)
94		disjdif 3992	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ∅
95	94	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶)) = ∅)
96		undif2 3996	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐶 ∪ 𝐵)
97		ssequn1 3745	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ∪ 𝐵) = 𝐵)
98	73, 97	sylib 207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐵) = 𝐵)
99	96, 98	syl5req 2657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∪ (𝐵 ∖ 𝐶)))
100	5, 23, 91, 58, 59, 92, 93, 95, 99	gsumsplit 18151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
101	73	resabs1d 5348	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐹 ↾ 𝐶))
102	101	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)))
103		difss 3699	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
104		resabs1 5347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))
105	103, 104	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))
106	105	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶))))
107	102, 106	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))))
108	100, 107	eqtr2d 2645	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) +𝑒 (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐵 ∖ 𝐶)))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))
109	85, 87, 108	3brtr3d 4614	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐶)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954   +_𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923   Σ_g cgsu 15924  ℝ^*_𝑠cxrs 15983  SubMndcsubmnd 17157  CMndccmn 18016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-xrs 15985  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-cntz 17573  df-cmn 18018

This theorem is referenced by:  xrge0tsms  22445  xrge0tsmsd  29116