Theorem xrge0tsmsd 29116

Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsmsd.g	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0tsmsd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xrge0tsmsd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
xrge0tsmsd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsmsd	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐹,𝑠   𝜑,𝑠   𝐺,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem xrge0tsmsd

Dummy variables 𝑟 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsmsd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
2		iccssxr 12127	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3		xrge0tsmsd.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
4		xrsbas 19581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
5	3, 4	ressbas2 15758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → (0[,]+∞) = (Base‘𝐺))
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8		xrge0cmn 19607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
9	3, 8	eqeltri 2684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
11		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
12		xrge0tsmsd.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
13		elfpw 8151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
14	13	simplbi 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ⊆ 𝐴)
15		fssres 5983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑠 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
16	12, 14, 15	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠):𝑠⟶(0[,]+∞))
17		elinel2 3762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑠 ∈ Fin)
19		fvex 6113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
21	16, 18, 20	fdmfifsupp 8168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑠) finSupp (0g‘𝐺))
22	6, 7, 10, 11, 16, 21	gsumcl 18139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ (0[,]+∞))
23	2, 22	sseldi 3566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) ∈ ℝ*)
24		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
25	23, 24	fmptd 6292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ*)
26		frn 5966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ℝ* → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
28		supxrcl 12017	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
30	1, 29	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
31		0ss 3924	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
32		0fin 8073	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
33		elfpw 8151	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 ∧ ∅ ∈ Fin))
34	31, 32, 33	mpbir2an 957	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
35		0cn 9911	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
36		reseq2 5312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ ∅))
37		res0 5321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
38	36, 37	syl6eq 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑠) = ∅)
39	38	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg ∅))
40		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
41	40	xrge0subm 19606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
42		xrex 11705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ* ∈ V
43		difexg 4735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
45		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46		ge0nemnf 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
47	45, 46	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
48		elxrge0 12152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
49		eldifsn 4260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
50	47, 48, 49	3imtr4i 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
51	50	ssriv 3572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
52		ressabs 15766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V ∧ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
53	44, 51, 52	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
54	3, 53	eqtr4i 2635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = ((ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})) ↾s (0[,]+∞))
55	40	xrs10 19604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞})))
56	54, 55	subm0 17179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘(ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))) → 0 = (0g‘𝐺))
57	41, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
58	57	gsum0 17101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0
59	39, 58	syl6eq 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = 0)
60	24, 59	elrnmpt1s 5294	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ ℂ) → 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
61	34, 35, 60	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))
62		supxrub 12026	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))) → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
63	27, 61, 62	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
64	63, 1	breqtrrd 4611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
65		elxrge0 12152	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆))
66	30, 64, 65	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0[,]+∞))
67		letop 20820	. . . . . 6 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
68		ovex 6577	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
69		elrest 15911	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
70	67, 68, 69	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↔ ∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
71		elinel1 3761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → 𝑆 ∈ 𝑣)
72		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
73		reex 9906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
74		elrestr 15912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ ℝ ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
75	67, 73, 74	mp3an12 1406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
76	72, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ))
77		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
78	77	xrtgioo 22417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
79	76, 78	syl6eleqr 2699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)))
80		simplrr 797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ 𝑣)
81		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
82	80, 81	elind 3760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ))
83		tg2 20580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑣 ∩ ℝ) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
84	79, 82, 83	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
85		ioof 12142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
86		ffn 5958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
87		ovelrn 6708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤)))
88	85, 86, 87	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤))
89		simprrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
90	89	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))
91		inss1 3795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑣 ∩ ℝ) ⊆ 𝑣
92	90, 91	syl6ss 3580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝑟(,)𝑤) ⊆ 𝑣)
93	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
94		simprrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
95		elinel2 3762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
97		simp-4l 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝜑)
98	97, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
99		elfpw 8151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Fin))
100	99	simplbi 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
101	94, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
102	98, 101	fssresd 5984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
103		ffun 5961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞) → Fun 𝐹)
104	12, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
105	104	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → Fun 𝐹)
106	105	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → Fun 𝐹)
107		c0ex 9913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ∈ V
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 0 ∈ V)
109	106, 96, 108	resfifsupp 8186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑦) finSupp 0)
110	6, 57, 93, 96, 102, 109	gsumcl 18139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
111	2, 110	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ*)
112		simprll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
113	112	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
114		simprll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
115		simprrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ⊆ 𝑦)
116	115, 101	sstrd 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
117	98, 116	fssresd 5984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
118		ssfi 8065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦) → 𝑧 ∈ Fin)
119	96, 115, 118	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑧 ∈ Fin)
120	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (0g‘𝐺) ∈ V)
121	117, 119, 120	fdmfifsupp 8168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
122	6, 7, 93, 114, 117, 121	gsumcl 18139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
123	2, 122	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
124		simprlr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
125		xrge0tsmsd.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
126	97, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
127	3, 126, 98, 94, 115	xrge0gsumle 22444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
128	113, 123, 111, 124, 127	xrltletrd 11868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
129	97, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑆 ∈ ℝ*)
130		simprlr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
132	97, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
133		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V
134		reseq2 5312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 = 𝑦 → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ 𝑦))
135	134	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
136	24, 135	elrnmpt1s 5294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
137	94, 133, 136	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))))
138		supxrub 12026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
139	132, 137, 138	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
140	97, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
141	139, 140	breqtrrd 4611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ 𝑆)
142		simprrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤))
143		eliooord 12104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) → (𝑟 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑤))
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < 𝑆 ∧ 𝑆 < 𝑤))
145	144	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 < 𝑤)
146	145	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → 𝑆 < 𝑤)
147	111, 129, 131, 141, 146	xrlelttrd 11867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) < 𝑤)
148		elioo1 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) < 𝑤)))
149	113, 131, 148	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) < 𝑤)))
150	111, 128, 147, 149	mpbir3and 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,)𝑤))
151	92, 150	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)
152	151, 110	elind 3760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
153	152	anassrs 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
154	153	expr 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
155	154	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
156	144	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < 𝑆)
157	1	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
158	156, 157	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
159	27	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
160		supxrlub 12027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤))
161	159, 112, 160	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤))
162	158, 161	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤)
163		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V
164	163	rgenw 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V
165		reseq2 5312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐹 ↾ 𝑠) = (𝐹 ↾ 𝑧))
166	165	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
167	166	cbvmptv 4678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
168		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) → (𝑟 < 𝑤 ↔ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))
169	167, 168	rexrnmpt 6277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))
170	164, 169	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
171	162, 170	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
172	155, 171	reximddv 3001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
173	172	expr 641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*)) → ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
174		eleq2 2677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑆 ∈ 𝑢 ↔ 𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤)))
175		sseq1 3589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ) ↔ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)))
176	174, 175	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ))))
177	176	imbi1d 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → (((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))) ↔ ((𝑆 ∈ (𝑟(,)𝑤) ∧ (𝑟(,)𝑤) ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
178	173, 177	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*)) → (𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
179	178	rexlimdvva 3020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ* ∃𝑤 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑟(,)𝑤) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
180	88, 179	syl5bi 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑢 ∈ ran (,) → ((𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
181	180	rexlimdv 3012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝑆 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ (𝑣 ∩ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
182	84, 181	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
183		simplrl 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ))
184		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 = +∞)
185		simplrr 797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → 𝑆 ∈ 𝑣)
186	184, 185	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → +∞ ∈ 𝑣)
187		pnfnei 20834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑣) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
188	183, 186, 187	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
189		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
190	189	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)
191	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝐺 ∈ CMnd)
192		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
193		simp-5l 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝜑)
194	193, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
195	100	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
196	194, 195	fssresd 5984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(0[,]+∞))
197	95	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
198	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
199	196, 197, 198	fdmfifsupp 8168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑦) finSupp (0g‘𝐺))
200	6, 7, 191, 192, 196, 199	gsumcl 18139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (0[,]+∞))
201	2, 200	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ*)
202		rexr 9964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
203	202	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
204	203	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
205		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
206		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ⊆ 𝑦)
207	206, 195	sstrd 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
208	194, 207	fssresd 5984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶(0[,]+∞))
209	197, 206, 118	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑧 ∈ Fin)
210	208, 209, 198	fdmfifsupp 8168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
211	6, 7, 191, 205, 208, 210	gsumcl 18139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
212	2, 211	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ℝ*)
213		simplrr 797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
214	193, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
215	3, 214, 194, 192, 206	xrge0gsumle 22444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ≤ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
216	204, 212, 201, 213, 215	xrltletrd 11868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
217		pnfge 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)
218	201, 217	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)
219		pnfxr 9971	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
220		elioc1 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)))
221	204, 219, 220	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞) ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ≤ +∞)))
222	201, 216, 218, 221	mpbir3and 1238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑟(,]+∞))
223	190, 222	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑣)
224	223, 200	elind 3760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑧 ⊆ 𝑦)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))
225	224	expr 641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
226	225	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
227		ltpnf 11830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 < +∞)
228	227	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < +∞)
229		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = +∞)
230	228, 229	breqtrrd 4611	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < 𝑆)
231	1	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑆 = sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
232	230, 231	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → 𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ))
233	27	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))) ⊆ ℝ*)
234	233, 203, 160	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → (𝑟 < sup(ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠))), ℝ*, < ) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤))
235	232, 234	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑠)))𝑟 < 𝑤)
236	235, 170	sylib 207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑟 < (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))
237	226, 236	reximddv 3001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑟(,]+∞) ⊆ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
238	188, 237	rexlimddv 3017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) ∧ 𝑆 = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
239		ge0nemnf 11878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑆) → 𝑆 ≠ -∞)
240	30, 64, 239	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ -∞)
241	30, 240	jca 553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞))
242	241	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞))
243		xrnemnf 11827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≠ -∞) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
244	242, 243	sylib 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) → (𝑆 ∈ ℝ ∨ 𝑆 = +∞))
245	182, 238, 244	mpjaodan 823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑣)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
246	245	expr 641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ 𝑣 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
247	71, 246	syl5 33	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
248		eleq2 2677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 ↔ 𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
249		eleq2 2677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))
250	249	imbi2d 329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
251	250	rexralbidv 3040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)))))
252	248, 251	imbi12d 333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ((𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑆 ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ (𝑣 ∩ (0[,]+∞))))))
253	247, 252	syl5ibrcom 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
254	253	rexlimdva 3013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (ordTop‘ ≤ )𝑢 = (𝑣 ∩ (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
255	70, 254	syl5bi 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) → (𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
256	255	ralrimiv 2948	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
257		xrstset 19584	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘ℝ*𝑠)
258	3, 257	resstset 15869	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺))
259	68, 258	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopSet‘𝐺)
260	6, 259	topnval 15918	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘𝐺)
261		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
262	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
263		xrstps 20823	. . . . . . 7 ⊢ ℝ*𝑠 ∈ TopSp
264		resstps 20801	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ∈ TopSp ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
265	263, 68, 264	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
266	3, 265	eqeltri 2684	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ TopSp
267	266	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
268	6, 260, 261, 262, 267, 125, 12	eltsms 21746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑆 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑢 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))(𝑆 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
269	66, 256, 268	mpbir2and 959	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
270		letsr 17050	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
271		ordthaus 20998	. . . . 5 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
272	270, 271	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus)
273		resthaus 20982	. . . 4 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Haus ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
274	272, 68, 273	sylancl 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Haus)
275	6, 262, 267, 125, 12, 260, 274	haustsms2 21750	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆}))
276	269, 275	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑆})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ran crn 5039   ↾ cres 5040  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,)cioo 12046  (,]cioc 12047  [,]cicc 12049  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  TopSetcts 15774   ↾_t crest 15904  topGenctg 15921  0_gc0g 15923   Σ_g cgsu 15924  ordTopcordt 15982  ℝ^*_𝑠cxrs 15983   TosetRel ctsr 17022  SubMndcsubmnd 17157  CMndccmn 18016  Topctop 20517  TopSpctps 20519  Hauscha 20922   tsums ctsu 21739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-cn 20841  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tsms 21740

This theorem is referenced by:  esumval  29435  esumel  29436  esumsnf  29453