Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tg2 20580
 Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tg2 ((𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem tg2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6130 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
2 eltg2b 20574 . . . 4 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐵 (𝑦𝑥𝑥𝐴)))
3 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
43anbi1d 737 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ (𝐶𝑥𝑥𝐴)))
54rexbidv 3034 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥𝐵 (𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴)))
65rspccv 3279 . . . 4 (∀𝑦𝐴𝑥𝐵 (𝑦𝑥𝑥𝐴) → (𝐶𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴)))
72, 6syl6bi 242 . . 3 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐶𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴))))
81, 7mpcom 37 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐶𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴)))
98imp 444 1 ((𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  topGenctg 15921 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-topgen 15927 This theorem is referenced by:  tgclb  20585  elcls3  20697  pnfnei  20834  mnfnei  20835  tgcnp  20867  tgcmp  21014  2ndcctbss  21068  2ndcdisj  21069  2ndcomap  21071  dis2ndc  21073  ptpjopn  21225  txlm  21261  flftg  21610  alexsublem  21658  alexsubALT  21665  tmdgsum2  21710  xrge0tsms  22445  xrge0tsmsd  29116  iccllyscon  30486  rellyscon  30487  fnessex  31511  ptrecube  32579  islptre  38686
 Copyright terms: Public domain W3C validator