MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tg2 Structured version   Unicode version

Theorem tg2 19758
Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tg2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  B )  /\  C  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C

Proof of Theorem tg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5875 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  B  e.  dom  topGen )
2 eltg2b 19752 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  B  ( y  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
3 eleq1 2474 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  (
y  e.  x  <->  C  e.  x ) )
43anbi1d 703 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
( y  e.  x  /\  x  C_  A )  <-> 
( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
54rexbidv 2918 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( E. x  e.  B  ( y  e.  x  /\  x  C_  A )  <->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
65rspccv 3157 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  E. x  e.  B  (
y  e.  x  /\  x  C_  A )  -> 
( C  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
72, 6syl6bi 228 . . 3  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  ->  ( C  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) ) )
81, 7mpcom 34 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( C  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
98imp 427 1  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  B )  /\  C  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755    C_ wss 3414   dom cdm 4823   ` cfv 5569   topGenctg 15052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-topgen 15058
This theorem is referenced by:  tgclb  19764  elcls3  19877  pnfnei  20014  mnfnei  20015  tgcnp  20047  tgcmp  20194  2ndcctbss  20248  2ndcdisj  20249  2ndcomap  20251  dis2ndc  20253  ptpjopn  20405  txlm  20441  flftg  20789  alexsublem  20836  alexsubALT  20843  tmdgsum2  20887  xrge0tsms  21631  xrge0tsmsd  28228  iccllyscon  29547  rellyscon  29548  fnessex  30574  islptre  36993
  Copyright terms: Public domain W3C validator