MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tg2 Structured version   Unicode version

Theorem tg2 18683
Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tg2  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  B )  /\  C  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C

Proof of Theorem tg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5812 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  B  e.  dom  topGen )
2 eltg2b 18677 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  B  ( y  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
3 eleq1 2521 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  (
y  e.  x  <->  C  e.  x ) )
43anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
( y  e.  x  /\  x  C_  A )  <-> 
( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
54rexbidv 2840 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  ( E. x  e.  B  ( y  e.  x  /\  x  C_  A )  <->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
65rspccv 3163 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  E. x  e.  B  (
y  e.  x  /\  x  C_  A )  -> 
( C  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
72, 6syl6bi 228 . . 3  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  ->  ( C  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) ) )
81, 7mpcom 36 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( C  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) ) )
98imp 429 1  |-  ( ( A  e.  ( topGen `  B )  /\  C  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( C  e.  x  /\  x  C_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2793   E.wrex 2794    C_ wss 3423   dom cdm 4935   ` cfv 5513   topGenctg 14475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fv 5521  df-topgen 14481
This theorem is referenced by:  tgclb  18688  elcls3  18800  pnfnei  18937  mnfnei  18938  tgcnp  18970  tgcmp  19117  2ndcctbss  19172  2ndcdisj  19173  2ndcomap  19175  dis2ndc  19177  ptpjopn  19298  txlm  19334  flftg  19682  alexsublem  19729  alexsubALT  19736  tmdgsum2  19780  xrge0tsms  20524  xrge0tsmsd  26384  iccllyscon  27270  rellyscon  27271  fnessex  28682
  Copyright terms: Public domain W3C validator