Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bastg 20581
 Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem bastg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
2 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
32pwid 4122 . . . . . . 7 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥)
51, 4elind 3760 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
6 elssuni 4403 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
87ex 449 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥𝐵𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9 eltg 20572 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
108, 9sylibrd 248 . 2 (𝐵𝑉 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
1110ssrdv 3574 1 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ‘cfv 5804  topGenctg 15921 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-topgen 15927 This theorem is referenced by:  unitg  20582  tgclb  20585  tgtop  20588  tgidm  20595  tgss3  20601  bastop2  20609  elcls3  20697  ordtopn1  20808  ordtopn2  20809  leordtval2  20826  iocpnfordt  20829  icomnfordt  20830  iooordt  20831  tgcn  20866  tgcnp  20867  tgcmp  21014  2ndcsb  21062  2ndc1stc  21064  2ndcctbss  21068  2ndcomap  21071  ptopn  21196  xkoopn  21202  txopn  21215  txbasval  21219  ptpjcn  21224  flftg  21610  alexsubb  21660  blssopn  22110  iooretop  22379  bndth  22565  ovolicc2  23097  cncombf  23231  cnmbf  23232  ordtconlem1  29298  elmbfmvol2  29656  dya2icoseg2  29667  iccllyscon  30486  rellyscon  30487  topjoin  31530  fnemeet2  31532  fnejoin1  31533  ontgval  31600  mblfinlem3  32618  mblfinlem4  32619  ismblfin  32620  cnambfre  32628  kelac2  36653
 Copyright terms: Public domain W3C validator