MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum0 17101
Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gsum0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsum0 (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 gsum0.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2610 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2610 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6 0ex 4718 . . . 4 ∅ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8 f0 5999 . . . 4 ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
98a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)})
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9gsumval1 17100 . 2 (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11 df-gsum 15926 . . . . 5 Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜if(ran 𝑓𝑜, (0g𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥𝑔[(𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(#‘𝑦))–1-1-onto𝑦𝑥 = (seq1((+g𝑤), (𝑓𝑔))‘(#‘𝑦)))))))
1211reldmmpt2 6669 . . . 4 Rel dom Σg
1312ovprc1 6582 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14 fvprc 6097 . . . 4 𝐺 ∈ V → (0g𝐺) = ∅)
152, 14syl5eq 2656 . . 3 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
1613, 15eqtr4d 2647 . 2 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
1710, 16pm2.61i 175 1 (𝐺 Σg ∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  [wsbc 3402  csb 3499  cdif 3537  wss 3540  c0 3874  ifcif 4036  ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039  cima 5041  ccom 5042  cio 5766  wf 5800  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  #chash 12979  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-seq 12664  df-gsum 15926
This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  17198  gsumccat  17201  gsumwmhm  17205  gsumwspan  17206  frmdgsum  17222  frmdup1  17224  gsumwrev  17619  gsmsymgrfix  17671  gsmsymgreq  17675  psgnunilem2  17738  psgn0fv0  17754  psgnsn  17763  psgnprfval1  17765  gsumconst  18157  mplmonmul  19285  mplcoe1  19286  mplcoe5  19289  coe1fzgsumd  19493  evl1gsumd  19542  gsumfsum  19632  mdet0pr  20217  madugsum  20268  tmdgsum  21709  xrge0gsumle  22444  xrge0tsms  22445  jensen  24515  gsumle  29110  gsumvsca1  29113  gsumvsca2  29114  xrge0tsmsd  29116  esumnul  29437  esumsnf  29453  sitg0  29735  mrsub0  30667  matunitlindflem1  32575  lincval0  41998
  Copyright terms: Public domain W3C validator