Theorem fssresd 5984

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fssresd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fssresd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fssresd	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fssresd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
3		fssres 5983	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3540   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808

This theorem is referenced by:  feqresmpt  6160  fsuppcor  8192  ramub2  15556  ramub1lem2  15569  funcres  16379  gasubg  17558  gsumzaddlem  18144  dprdfadd  18242  dprdres  18250  dprdf1  18255  dmdprdsplitlem  18259  dmdprdsplit2lem  18267  dmdprdsplit2  18268  dprdsplit  18270  ablfac1eulem  18294  ablfac1eu  18295  pwssplit0  18879  frlmsplit2  19931  mamures  20015  mdetrlin  20227  cnrest  20899  cnpresti  20902  cnprest  20903  ptuncnv  21420  ptunhmeo  21421  ptcmpfi  21426  tsmslem1  21742  tsmssubm  21756  tsmsres  21757  tsmsf1o  21758  tsmsxplem1  21766  tsmsxplem2  21767  psmetres2  21929  xmetres2  21976  metres2  21978  imasdsf1olem  21988  xmetresbl  22052  xrge0gsumle  22444  xrge0tsms  22445  rescncf  22508  mbfres2  23218  limcres  23456  limciun  23464  dvres3  23483  dvlip  23560  dvlipcn  23561  dvlip2  23562  dvgt0lem1  23569  dvivthlem1  23575  lhop  23583  ulmres  23946  ulmss  23955  pserdvlem2  23986  jensenlem2  24514  jensen  24515  uhgrares  25837  umgrares  25853  eupares  26502  foresf1o  28727  resf1o  28893  gsumle  29110  xrge0tsmsd  29116  measres  29612  omsmeas  29712  cvmliftlem6  30526  cvmlift2lem11  30549  mrsubff1  30665  msubff1  30707  aomclem4  36645  extoimad  37486  imo72b2lem0  37487  imo72b2lem2  37489  imo72b2lem1  37493  imo72b2  37497  wessf1ornlem  38366  limcperiod  38695  cncfperiod  38764  dvmptresicc  38809  dirkercncflem4  38999  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem51  39050  fourierdlem53  39052  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem81  39080  fourierdlem85  39084  fourierdlem88  39087  fourierdlem93  39092  fourierdlem94  39093  fourierdlem95  39094  fourierdlem100  39099  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem107  39106  fourierdlem111  39110  fourierdlem112  39111  fourierdlem113  39112  sge0tsms  39273  sge0sup  39284  sge0gerp  39288  sge0pnffigt  39289  sge0lefi  39291  sge0ltfirp  39293  sge0resplit  39299  sge0le  39300  sge0split  39302  sge0iun  39312  meadjun  39355  ismeannd  39360  psmeasurelem  39363  omeunle  39406  omeiunle  39407  caratheodory  39418  hoidmvlelem1  39485  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem3  39487  hoidmvlelem4  39488  1wlkres  40879  pthdlem1  40972  lincdifsn  42007