Theorem elxrge0 12152

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1033	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 9965	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 9971	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 12090	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 11840	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 662	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 291	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-icc 12053

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  12154  ge0xaddcl  12157  ge0xmulcl  12158  xnn0xrge0  12196  xrge0subm  19606  psmetxrge0  21928  isxmet2d  21942  prdsdsf  21982  prdsxmetlem  21983  comet  22128  stdbdxmet  22130  xrge0gsumle  22444  xrge0tsms  22445  metdsf  22459  metds0  22461  metdstri  22462  metdsre  22464  metdseq0  22465  metdscnlem  22466  metnrmlem1a  22469  metnrmlem1  22470  xrhmeo  22553  lebnumlem1  22568  xrge0f  23304  itg2const2  23314  itg2uba  23316  itg2mono  23326  itg2gt0  23333  itg2cnlem2  23335  itg2cn  23336  iblss  23377  itgle  23382  itgeqa  23386  ibladdlem  23392  iblabs  23401  iblabsr  23402  iblmulc2  23403  itgsplit  23408  bddmulibl  23411  xrge0addge  28912  xrge0infss  28915  xrge0addcld  28917  xrge0subcld  28918  xrge00  29017  xrge0tsmsd  29116  esummono  29443  gsumesum  29448  esumsnf  29453  esumrnmpt2  29457  esumpmono  29468  hashf2  29473  measge0  29597  measle0  29598  measssd  29605  measunl  29606  omssubaddlem  29688  omssubadd  29689  carsgsigalem  29704  pmeasmono  29713  sibfinima  29728  prob01  29802  dstrvprob  29860  itg2addnclem  32631  ibladdnclem  32636  iblabsnc  32644  iblmulc2nc  32645  bddiblnc  32650  ftc1anclem4  32658  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem6  32660  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662  ftc1anc  32663  xrge0ge0  38504