Theorem resfifsupp 8186

Description: The restriction of a function to a finite set is finitely supported. (Contributed by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
resfifsupp.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
resfifsupp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
resfifsupp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resfifsupp	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem resfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resfifsupp.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
2		funrel 5821	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
4		resindm 5364	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ 𝑋))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) = (𝐹 ↾ 𝑋))
6		funfn 5833	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
7	1, 6	sylib 207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
8		fnresin2 5920	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) Fn (𝑋 ∩ dom 𝐹))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) Fn (𝑋 ∩ dom 𝐹))
10		resfifsupp.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
11		infi 8069	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ∩ dom 𝐹) ∈ Fin)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ dom 𝐹) ∈ Fin)
13		resfifsupp.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
14	9, 12, 13	fndmfifsupp 8171	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋 ∩ dom 𝐹)) finSupp 𝑍)
15	5, 14	eqbrtrrd 4607	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑋) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Rel wrel 5043  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-supp 7183  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fsupp 8159

This theorem is referenced by:  xrge0tsmsd  29116