Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltsms 21746
 Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a (𝜑𝐴𝑉)
eltsms.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
eltsms (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑧,𝑢,𝐹,𝑦   𝑢,𝐺,𝑦,𝑧   𝑢,𝐽,𝑧   𝑧,𝐴   𝜑,𝑢,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑢)

Proof of Theorem eltsms
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltsms.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eltsms.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3 eltsms.s . . . 4 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4 eqid 2610 . . . 4 ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) = ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})
5 eltsms.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
6 eltsms.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
7 eltsms.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tsmsval 21744 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))))
98eleq2d 2673 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))))
10 eltsms.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
111, 2istps 20551 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
1210, 11sylib 207 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
13 eqid 2610 . . . 4 (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) = (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})
143, 13, 4, 6tsmsfbas 21741 . . 3 (𝜑 → ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆))
151, 3, 5, 6, 7tsmslem1 21742 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
16 eqid 2610 . . . 4 (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) = (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
1715, 16fmptd 6292 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):𝑆𝐵)
18 eqid 2610 . . . 4 (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})) = (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}))
1918flffbas 21609 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ∈ (fBas‘𝑆) ∧ (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):𝑆𝐵) → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
2012, 14, 17, 19syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐽 fLimf (𝑆filGenran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})))‘(𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢))))
21 pwexg 4776 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
22 inex1g 4729 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
236, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
243, 23syl5eqel 2692 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ V)
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐽) → 𝑆 ∈ V)
26 rabexg 4739 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ V → {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢𝐽) → {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
2827ralrimivw 2950 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢𝐽) → ∀𝑧𝑆 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V)
29 imaeq2 5381 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑦𝑆𝑧𝑦} → ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) = ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}))
3029sseq1d 3595 . . . . . . . 8 (𝑤 = {𝑦𝑆𝑧𝑦} → (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
3113, 30rexrnmpt 6277 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑆 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ∈ V → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
3228, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢))
33 funmpt 5840 . . . . . . . . 9 Fun (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
34 ssrab2 3650 . . . . . . . . . 10 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ 𝑆
35 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ V
3635, 16dmmpti 5936 . . . . . . . . . 10 dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) = 𝑆
3734, 36sseqtr4i 3601 . . . . . . . . 9 {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
38 funimass3 6241 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) ∧ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ dom (𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) → (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢)))
3933, 37, 38mp2an 704 . . . . . . . 8 (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢))
4016mptpreima 5545 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢) = {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢}
4140sseq2i 3593 . . . . . . . 8 ({𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑢) ↔ {𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢})
42 ss2rab 3641 . . . . . . . 8 ({𝑦𝑆𝑧𝑦} ⊆ {𝑦𝑆 ∣ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢} ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4339, 41, 423bitri 285 . . . . . . 7 (((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4443rexbii 3023 . . . . . 6 (∃𝑧𝑆 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ {𝑦𝑆𝑧𝑦}) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))
4532, 44syl6bb 275 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝐽) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
4645imbi2d 329 . . . 4 ((𝜑𝑢𝐽) → ((𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
4746ralbidva 2968 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
4847anbi2d 736 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑧𝑆 ↦ {𝑦𝑆𝑧𝑦})((𝑦𝑆 ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) “ 𝑤) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
499, 20, 483bitrd 293 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  Basecbs 15695  TopOpenctopn 15905   Σg cgsu 15924  CMndccmn 18016  fBascfbas 19555  filGencfg 19556  TopOnctopon 20518  TopSpctps 20519   fLimf cflf 21549   tsums ctsu 21739 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tsms 21740 This theorem is referenced by:  tsmsi  21747  tsmscl  21748  tsmsgsum  21752  tsmssubm  21756  tsmsres  21757  tsmsf1o  21758  tsmsxp  21768  xrge0tsms  22445  xrge0tsmsd  29116
 Copyright terms: Public domain W3C validator