Theorem fdmfifsupp 8168

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2		ffun 5961	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐷⟶𝑅 → Fun 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
4		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
5		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
6	1, 4, 5	fdmfisuppfi 8167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
7		ffn 5958	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐷⟶𝑅 → 𝐹 Fn 𝐷)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
9		fnex 6386	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
10	8, 4, 9	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
11		isfsupp 8162	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
12	10, 5, 11	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
13	3, 6, 12	mpbir2and 959	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   supp csupp 7182  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-supp 7183  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fsupp 8159

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  8169  fndmfifsupp  8171  gsummptfif1o  18190  psrmulcllem  19208  frlmfibas  19924  elfilspd  19961  tmdgsum  21709  tsmslem1  21742  tsmssubm  21756  tsmsres  21757  tsmsf1o  21758  tsmsmhm  21759  tsmsadd  21760  tsmsxplem1  21766  tsmsxplem2  21767  imasdsf1olem  21988  xrge0gsumle  22444  xrge0tsms  22445  ehlbase  23002  jensenlem2  24514  jensen  24515  amgmlem  24516  amgm  24517  wilthlem2  24595  wilthlem3  24596  gsumle  29110  xrge0tsmsd  29116  esumpfinvalf  29465  k0004ss2  37470  rrxbasefi  39179  sge0tsms  39273  fsuppmptdmf  41956  linccl  41997  lcosn0  42003  islinindfis  42032  snlindsntor  42054  ldepspr  42056  zlmodzxzldeplem2  42084  amgmwlem  42357  amgmlemALT  42358