Theorem rrxbasefi 39179

Description: The base of the generalized real Euclidean space, when the dimension of the space is finite. This justifies the use of (ℝ ↑_𝑚 𝑋) for the development of the Lebeasgue measure theory for n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxbasefi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
rrxbasefi.h	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
rrxbasefi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxbasefi	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝑋))

Proof of Theorem rrxbasefi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxbasefi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		rrxbasefi.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
3		rrxbasefi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
4	2, 3	rrxbase 22984	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
6		ssrab2 3650	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
8	5, 7	eqsstrd 3602	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
9		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
10		elmapi 7765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
12	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
13		c0ex 9913	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 0 ∈ V)
15	11, 12, 14	fdmfifsupp 8168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 finSupp 0)
16	9, 15	jca 553	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
17		rabid 3095	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
18	16, 17	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
19	5	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
21	18, 20	eleqtrd 2690	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 ∈ 𝐵)
22	21	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)𝑓 ∈ 𝐵)
23		dfss3 3558	. . 3 ⊢ ((ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)𝑓 ∈ 𝐵)
24	22, 23	sylibr 223	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝐵)
25	8, 24	eqssd 3585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  ℝcr 9814  0cc0 9815  Basecbs 15695  ℝ^crrx 22979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-tng 22199  df-tch 22777  df-rrx 22981

This theorem is referenced by:  rrxdsfi  39181  rrxtopnfi  39182  rrxmetfi  39183  rrxtoponfi  39187  qndenserrnopnlem  39193  qndenserrn  39195  rrnprjdstle  39197