Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrmulcllem 19208
 Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulcl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulcl.t · = (.r𝑆)
psrmulcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrmulcl.x (𝜑𝑋𝐵)
psrmulcl.y (𝜑𝑌𝐵)
psrmulcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrmulcllem (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑋(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem psrmulcllem
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 psrmulcl.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
5 ringcmn 18404 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 psrmulcl.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐵)
8 reldmpsr 19182 . . . . . . . . 9 Rel dom mPwSer
9 psrmulcl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 psrmulcl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑆)
118, 9, 10elbasov 15749 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
127, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
1312simpld 474 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
14 psrmulcl.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
1514psrbaglefi 19193 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
1613, 15sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
173ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
189, 1, 14, 10, 7psrelbas 19200 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1918ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
20 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
21 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑟𝑘𝑥𝑟𝑘))
2221elrab 3331 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↔ (𝑥𝐷𝑥𝑟𝑘))
2320, 22sylib 207 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑥𝐷𝑥𝑟𝑘))
2423simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥𝐷)
2519, 24ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
26 psrmulcl.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
279, 1, 14, 10, 26psrelbas 19200 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2827ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2913ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐼 ∈ V)
30 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
3114psrbagf 19186 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
3229, 24, 31syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
3323simprd 478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥𝑟𝑘)
3414psrbagcon 19192 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑘𝐷𝑥:𝐼⟶ℕ0𝑥𝑟𝑘)) → ((𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∘𝑟𝑘))
3529, 30, 32, 33, 34syl13anc 1320 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∘𝑟𝑘))
3635simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷)
3728, 36ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
391, 38ringcl 18384 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
4017, 25, 37, 39syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
41 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
4240, 41fmptd 6292 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))):{𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}⟶(Base‘𝑅))
43 fvex 6113 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (0g𝑅) ∈ V)
4542, 16, 44fdmfifsupp 8168 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
461, 2, 6, 16, 42, 45gsumcl 18139 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))
47 eqid 2610 . . . 4 (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))
4846, 47fmptd 6292 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
49 fvex 6113 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
50 ovex 6577 . . . . 5 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
5114, 50rabex2 4742 . . . 4 𝐷 ∈ V
5249, 51elmap 7772 . . 3 ((𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
5348, 52sylibr 223 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
54 psrmulcl.t . . 3 · = (.r𝑆)
559, 10, 38, 54, 14, 7, 26psrmulfval 19206 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
569, 1, 14, 10, 13psrbas 19199 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
5753, 55, 563eltr4d 2703 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ∘𝑟 cofr 6794   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  CMndccmn 18016  Ringcrg 18370   mPwSer cmps 19172 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-psr 19177 This theorem is referenced by:  psrmulcl  19209
 Copyright terms: Public domain W3C validator