Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfilspd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfilspd 19961
 Description: Simplified version of ellspd 19960 when the spanning set is finite: all linear combinations are then acceptable. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z 0 = (0g𝑆)
ellspd.t · = ( ·𝑠𝑀)
elfilspd.f (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
elfilspd.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
elfilspd.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
elfilspd (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝑁   𝑓,𝐾   𝑆,𝑓   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Proof of Theorem elfilspd
StepHypRef Expression
1 ellspd.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
2 ellspd.v . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
3 ellspd.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
4 ellspd.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5 ellspd.z . . 3 0 = (0g𝑆)
6 ellspd.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑀)
7 elfilspd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
8 elfilspd.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
9 elfilspd.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
10 elex 3185 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ V)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11ellspd 19960 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
13 elmapi 7765 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼𝐾)
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)) → 𝑓:𝐼𝐾)
159adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
16 fvex 6113 . . . . . . 7 (0g𝑆) ∈ V
175, 16eqeltri 2684 . . . . . 6 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)) → 0 ∈ V)
1914, 15, 18fdmfifsupp 8168 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)) → 𝑓 finSupp 0 )
2019biantrurd 528 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)) → (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ (𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
2120rexbidva 3031 . 2 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
2212, 21bitr4d 270 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lmhm 18843  df-lbs 18896  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-nzr 19079  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-uvc 19941 This theorem is referenced by:  matunitlindflem2  32576
 Copyright terms: Public domain W3C validator