MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfifsupp Structured version   Unicode version

Theorem fdmfifsupp 7846
Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f  |-  ( ph  ->  F : D --> R )
fdmfisuppfi.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
fdmfisuppfi.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
Assertion
Ref Expression
fdmfifsupp  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )

Proof of Theorem fdmfifsupp
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> R )
2 ffun 5691 . . 3  |-  ( F : D --> R  ->  Fun  F )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  F )
4 fdmfisuppfi.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
5 fdmfisuppfi.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
61, 4, 5fdmfisuppfi 7845 . 2  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
7 ffn 5689 . . . . 5  |-  ( F : D --> R  ->  F  Fn  D )
81, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  D )
9 fnex 6091 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  D  /\  D  e.  Fin )  ->  F  e.  _V )
108, 4, 9syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
11 isfsupp 7840 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( Fun  F  /\  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
) )
1210, 5, 11syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( Fun  F  /\  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
) )
133, 6, 12mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1872   _Vcvv 3022   class class class wbr 4366   Fun wfun 5538    Fn wfn 5539   -->wf 5540  (class class class)co 6249   supp csupp 6869   Fincfn 7524   finSupp cfsupp 7836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-supp 6870  df-er 7318  df-en 7525  df-fin 7528  df-fsupp 7837
This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  7847  fndmfifsupp  7849  gsummptfif1o  17543  psrmulcllem  18554  frlmfibas  19266  elfilspd  19303  tmdgsum  21052  tsmslem1  21085  tsmssubm  21099  tsmsres  21100  tsmsf1o  21101  tsmsmhm  21102  tsmsadd  21103  tsmsxplem1  21109  tsmsxplem2  21110  imasdsf1olem  21330  xrge0gsumle  21793  xrge0tsms  21794  ehlbase  22307  jensenlem2  23855  jensen  23856  amgmlem  23857  amgm  23858  wilthlem2  23936  wilthlem3  23937  gsumle  28493  xrge0tsmsd  28500  esumpfinvalf  28849  sge0tsms  38073  fsuppmptdmf  39769  linccl  39810  lcosn0  39816  islinindfis  39845  snlindsntor  39867  ldepspr  39869  zlmodzxzldeplem2  39897
  Copyright terms: Public domain W3C validator