MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfifsupp Structured version   Unicode version

Theorem fdmfifsupp 7731
Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f  |-  ( ph  ->  F : D --> R )
fdmfisuppfi.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
fdmfisuppfi.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
Assertion
Ref Expression
fdmfifsupp  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )

Proof of Theorem fdmfifsupp
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> R )
2 ffun 5659 . . 3  |-  ( F : D --> R  ->  Fun  F )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  F )
4 fdmfisuppfi.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
5 fdmfisuppfi.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
61, 4, 5fdmfisuppfi 7730 . 2  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
7 ffn 5657 . . . . 5  |-  ( F : D --> R  ->  F  Fn  D )
81, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  D )
9 fnex 6043 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  D  /\  D  e.  Fin )  ->  F  e.  _V )
108, 4, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
11 isfsupp 7725 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( Fun  F  /\  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
) )
1210, 5, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( Fun  F  /\  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
) )
133, 6, 12mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   class class class wbr 4390   Fun wfun 5510    Fn wfn 5511   -->wf 5512  (class class class)co 6190   supp csupp 6790   Fincfn 7410   finSupp cfsupp 7721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-supp 6791  df-er 7201  df-en 7411  df-fin 7414  df-fsupp 7722
This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  7732  fndmfifsupp  7734  gsummptfif1o  16564  psrmulcllem  17564  frlmfibas  18298  elfilspd  18341  tmdgsum  19782  tsmslem1  19815  tsmssubm  19832  tsmsres  19834  tsmsf1o  19835  tsmsmhm  19836  tsmsadd  19837  tsmsxplem1  19843  tsmsxplem2  19844  imasdsf1olem  20064  xrge0gsumle  20526  xrge0tsms  20527  ehlbase  21026  jensenlem2  22497  jensen  22498  amgmlem  22499  amgm  22500  wilthlem2  22523  wilthlem3  22524  esumpfinvalf  26659  fsuppmptdmf  30933  linccl  31055  lcosn0  31061  islinindfis  31090  snlindsntor  31112  ldepspr  31114  zlmodzxzldeplem2  31150
  Copyright terms: Public domain W3C validator