MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfifsupp Structured version   Unicode version

Theorem fdmfifsupp 7831
Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f  |-  ( ph  ->  F : D --> R )
fdmfisuppfi.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
fdmfisuppfi.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
Assertion
Ref Expression
fdmfifsupp  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )

Proof of Theorem fdmfifsupp
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> R )
2 ffun 5715 . . 3  |-  ( F : D --> R  ->  Fun  F )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  F )
4 fdmfisuppfi.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
5 fdmfisuppfi.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
61, 4, 5fdmfisuppfi 7830 . 2  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
7 ffn 5713 . . . . 5  |-  ( F : D --> R  ->  F  Fn  D )
81, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  D )
9 fnex 6114 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  D  /\  D  e.  Fin )  ->  F  e.  _V )
108, 4, 9syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
11 isfsupp 7825 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( Fun  F  /\  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
) )
1210, 5, 11syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( Fun  F  /\  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
) )
133, 6, 12mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439   Fun wfun 5564    Fn wfn 5565   -->wf 5566  (class class class)co 6270   supp csupp 6891   Fincfn 7509   finSupp cfsupp 7821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-supp 6892  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fsupp 7822
This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  7832  fndmfifsupp  7834  gsummptfif1o  17194  psrmulcllem  18238  frlmfibas  18969  elfilspd  19008  tmdgsum  20763  tsmslem1  20796  tsmssubm  20813  tsmsres  20815  tsmsf1o  20816  tsmsmhm  20817  tsmsadd  20818  tsmsxplem1  20824  tsmsxplem2  20825  imasdsf1olem  21045  xrge0gsumle  21507  xrge0tsms  21508  ehlbase  22007  jensenlem2  23518  jensen  23519  amgmlem  23520  amgm  23521  wilthlem2  23544  wilthlem3  23545  gsumle  28007  esumpfinvalf  28308  fsuppmptdmf  33247  linccl  33288  lcosn0  33294  islinindfis  33323  snlindsntor  33345  ldepspr  33347  zlmodzxzldeplem2  33375
  Copyright terms: Public domain W3C validator