MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resthaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resthaus 20982
Description: A subspace of a Hausdorff topology is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resthaus ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Haus)

Proof of Theorem resthaus
StepHypRef Expression
1 haustop 20945 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2 cnhaus 20968 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ ( I ↾ (𝐴 𝐽)):(𝐴 𝐽)–1-1→(𝐴 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝐴 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝐴) ∈ Haus)
31, 2resthauslem 20977 1 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  cin 3539   cuni 4372   I cid 4948  cres 5040  (class class class)co 6549  t crest 15904  Hauscha 20922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cn 20841  df-haus 20929
This theorem is referenced by:  hauslly  21105  hausnlly  21106  xrge0tsms  22445  cncfcnvcn  22532  xrge0tsmsd  29116  xrge0haus  29318  esumpfinval  29464  esumpfinvalf  29465
  Copyright terms: Public domain W3C validator