Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tsmsbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0tsmsbi 29117
 Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmseq.g 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0tsmseq.a (𝜑𝐴𝑉)
xrge0tsmseq.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmsbi (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))

Proof of Theorem xrge0tsmsbi
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmseq.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
2 xrge0tsmseq.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞))
3 xrge0tsmseq.g . . . . . 6 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
43xrge0tsms2 22446 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶(0[,]+∞)) → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1𝑜)
51, 2, 4syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1𝑜)
6 en1b 7910 . . . 4 ((𝐺 tsums 𝐹) ≈ 1𝑜 ↔ (𝐺 tsums 𝐹) = { (𝐺 tsums 𝐹)})
75, 6sylib 207 . . 3 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = { (𝐺 tsums 𝐹)})
87eleq2d 2673 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)}))
9 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
109uniex 6851 . . . . . 6 (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V
11 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ V ↔ (𝐺 tsums 𝐹) ∈ V))
1210, 11mpbiri 247 . . . . 5 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ V)
13 elsng 4139 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)} ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))
1514ibir 256 . . 3 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) → 𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)})
16 elsni 4142 . . 3 (𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)} → 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹))
1715, 16impbii 198 . 2 (𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 ∈ { (𝐺 tsums 𝐹)})
188, 17syl6bbr 277 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝐶 = (𝐺 tsums 𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  [,]cicc 12049   ↾s cress 15696  ℝ*𝑠cxrs 15983   tsums ctsu 21739 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-cn 20841  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tsms 21740 This theorem is referenced by:  esumcl  29419
 Copyright terms: Public domain W3C validator