Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcl 29419
 Description: Closure for extended sum in the extended positive reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumcl.1 𝑘𝐴
Assertion
Ref Expression
esumcl ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Distinct variable group:   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcl
StepHypRef Expression
1 xrge0base 29016 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 xrge0cmn 19607 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
32a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
4 xrge0tps 29316 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
54a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
6 simpl 472 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴𝑉)
7 esumcl.1 . . . . . 6 𝑘𝐴
87nfel1 2765 . . . . 5 𝑘 𝐴𝑉
9 nfra1 2925 . . . . 5 𝑘𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)
108, 9nfan 1816 . . . 4 𝑘(𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11 nfcv 2751 . . . 4 𝑘(0[,]+∞)
12 simpr 476 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1312r19.21bi 2916 . . . 4 (((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2610 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1510, 7, 11, 13, 14fmptdF 28836 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
161, 3, 5, 6, 15tsmscl 21748 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) ⊆ (0[,]+∞))
17 df-esum 29417 . . 3 Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))
18 eqid 2610 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
1918, 6, 15xrge0tsmsbi 29117 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)) ↔ Σ*𝑘𝐴𝐵 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵))))
2017, 19mpbiri 247 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
2116, 20sseldd 3569 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738  ∀wral 2896  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  [,]cicc 12049   ↾s cress 15696  ℝ*𝑠cxrs 15983  CMndccmn 18016  TopSpctps 20519   tsums ctsu 21739  Σ*cesum 29416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-cn 20841  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tsms 21740  df-esum 29417 This theorem is referenced by:  esumel  29436  esummono  29443  esumpad  29444  esumpad2  29445  esumle  29447  esumlef  29451  esumrnmpt2  29457  esumfsup  29459  esumpinfval  29462  esumpinfsum  29466  esumpmono  29468  esummulc1  29470  esummulc2  29471  esumdivc  29472  hasheuni  29474  esumcvg  29475  esumgect  29479  esum2dlem  29481  esum2d  29482  measiun  29608  omscl  29684  oms0  29686  omsmon  29687  omssubadd  29689  carsggect  29707  carsgclctunlem2  29708  omsmeas  29712
 Copyright terms: Public domain W3C validator