Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tsmsbi Structured version   Unicode version

Theorem xrge0tsmsbi 26253
Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmseq.g  |-  G  =  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
xrge0tsmseq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
xrge0tsmseq.f  |-  ( ph  ->  F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmsbi  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  C  =  U. ( G tsums  F ) ) )

Proof of Theorem xrge0tsmsbi
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmseq.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 xrge0tsmseq.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
3 xrge0tsmseq.g . . . . . 6  |-  G  =  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
43xrge0tsms2 20411 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( G tsums  F
)  ~~  1o )
51, 2, 4syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
~~  1o )
6 en1b 7376 . . . 4  |-  ( ( G tsums  F )  ~~  1o 
<->  ( G tsums  F )  =  { U. ( G tsums  F ) } )
75, 6sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  { U. ( G tsums  F ) } )
87eleq2d 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  C  e.  { U. ( G tsums  F
) } ) )
9 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( G tsums 
F )  e.  _V
109uniex 6375 . . . . . 6  |-  U. ( G tsums  F )  e.  _V
11 eleq1 2502 . . . . . 6  |-  ( C  =  U. ( G tsums 
F )  ->  ( C  e.  _V  <->  U. ( G tsums  F )  e.  _V ) )
1210, 11mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( C  =  U. ( G tsums 
F )  ->  C  e.  _V )
13 elsncg 3899 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  ( C  e.  { U. ( G tsums  F ) }  <->  C  =  U. ( G tsums  F ) ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( C  =  U. ( G tsums 
F )  ->  ( C  e.  { U. ( G tsums  F ) }  <->  C  =  U. ( G tsums  F ) ) )
1514ibir 242 . . 3  |-  ( C  =  U. ( G tsums 
F )  ->  C  e.  { U. ( G tsums 
F ) } )
16 elsni 3901 . . 3  |-  ( C  e.  { U. ( G tsums  F ) }  ->  C  =  U. ( G tsums 
F ) )
1715, 16impbii 188 . 2  |-  ( C  =  U. ( G tsums 
F )  <->  C  e.  { U. ( G tsums  F
) } )
188, 17syl6bbr 263 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  C  =  U. ( G tsums  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971   {csn 3876   U.cuni 4090   class class class wbr 4291   -->wf 5413  (class class class)co 6090   1oc1o 6912    ~~ cen 7306   0cc0 9281   +oocpnf 9414   [,]cicc 11302   ↾s cress 14174   RR*scxrs 14437   tsums ctsu 19695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-xadd 11089  df-ioo 11303  df-ioc 11304  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-hash 12103  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-ordt 14438  df-xrs 14439  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-ps 15369  df-tsr 15370  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-ntr 18623  df-nei 18701  df-cn 18830  df-haus 18918  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-tsms 19696
This theorem is referenced by:  esumcl  26485
  Copyright terms: Public domain W3C validator