Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0tsmsbi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xrge0tsmsbi 28600
Description: Any limit of a finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is the union of the sets limits, since this set is a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0tsmseq.g  |-  G  =  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
xrge0tsmseq.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
xrge0tsmseq.f  |-  ( ph  ->  F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
xrge0tsmsbi  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  C  =  U. ( G tsums  F ) ) )

Proof of Theorem xrge0tsmsbi
StepHypRef Expression
1 xrge0tsmseq.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 xrge0tsmseq.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
3 xrge0tsmseq.g . . . . . 6  |-  G  =  ( RR*ss  ( 0 [,] +oo ) )
43xrge0tsms2 21908 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  F : A --> ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( G tsums  F
)  ~~  1o )
51, 2, 4syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
~~  1o )
6 en1b 7668 . . . 4  |-  ( ( G tsums  F )  ~~  1o 
<->  ( G tsums  F )  =  { U. ( G tsums  F ) } )
75, 6sylib 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  { U. ( G tsums  F ) } )
87eleq2d 2525 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  C  e.  { U. ( G tsums  F
) } ) )
9 ovex 6348 . . . . . . 7  |-  ( G tsums 
F )  e.  _V
109uniex 6619 . . . . . 6  |-  U. ( G tsums  F )  e.  _V
11 eleq1 2528 . . . . . 6  |-  ( C  =  U. ( G tsums 
F )  ->  ( C  e.  _V  <->  U. ( G tsums  F )  e.  _V ) )
1210, 11mpbiri 241 . . . . 5  |-  ( C  =  U. ( G tsums 
F )  ->  C  e.  _V )
13 elsncg 4003 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  ( C  e.  { U. ( G tsums  F ) }  <->  C  =  U. ( G tsums  F ) ) )
1412, 13syl 17 . . . 4  |-  ( C  =  U. ( G tsums 
F )  ->  ( C  e.  { U. ( G tsums  F ) }  <->  C  =  U. ( G tsums  F ) ) )
1514ibir 250 . . 3  |-  ( C  =  U. ( G tsums 
F )  ->  C  e.  { U. ( G tsums 
F ) } )
16 elsni 4005 . . 3  |-  ( C  e.  { U. ( G tsums  F ) }  ->  C  =  U. ( G tsums 
F ) )
1715, 16impbii 192 . 2  |-  ( C  =  U. ( G tsums 
F )  <->  C  e.  { U. ( G tsums  F
) } )
188, 17syl6bbr 271 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  C  =  U. ( G tsums  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    = wceq 1455    e. wcel 1898   _Vcvv 3057   {csn 3980   U.cuni 4212   class class class wbr 4418   -->wf 5601  (class class class)co 6320   1oc1o 7206    ~~ cen 7597   0cc0 9570   +oocpnf 9703   [,]cicc 11672   ↾s cress 15177   RR*scxrs 15453   tsums ctsu 21195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-of 6563  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-fi 7956  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-4 10703  df-5 10704  df-6 10705  df-7 10706  df-8 10707  df-9 10708  df-10 10709  df-n0 10904  df-z 10972  df-dec 11086  df-uz 11194  df-q 11299  df-xadd 11444  df-ioo 11673  df-ioc 11674  df-ico 11675  df-icc 11676  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15178  df-ndx 15179  df-slot 15180  df-base 15181  df-sets 15182  df-ress 15183  df-plusg 15258  df-mulr 15259  df-tset 15264  df-ple 15265  df-ds 15267  df-rest 15376  df-topn 15377  df-0g 15395  df-gsum 15396  df-topgen 15397  df-ordt 15454  df-xrs 15455  df-mre 15547  df-mrc 15548  df-acs 15550  df-ps 16501  df-tsr 16502  df-mgm 16543  df-sgrp 16582  df-mnd 16592  df-submnd 16638  df-cntz 17026  df-cmn 17487  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-topsp 19979  df-ntr 20090  df-nei 20169  df-cn 20298  df-haus 20386  df-fil 20916  df-fm 21008  df-flim 21009  df-flf 21010  df-tsms 21196
This theorem is referenced by:  esumcl  28902
  Copyright terms: Public domain W3C validator