Theorem fsumnncl 38638

Description: Closure of a non empty, finite sum of positive integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumnncl.an0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
fsumnncl.afi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumnncl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fsumnncl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumnncl

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumnncl.afi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumnncl.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 11228	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	1, 3	fsumnn0cl 14314	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0)
5		fsumnncl.an0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6		n0 3890	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylib 207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴)
8		0red 9920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
9		nfv 1830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
10		nfcsb1v 3515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
11	10	nfel1 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ
12	9, 11	nfim 1813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)
13		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
14	13	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
15		csbeq1a 3508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
16	15	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℕ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ))
17	14, 16	imbi12d 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)))
18	12, 17, 2	chvar 2250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℕ)
19	18	nnred 10912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
20	8, 19	readdcld 9948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℝ)
21		diffi 8077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
22	1, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
23		eldifi 3694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
25	24, 3	syldan 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ0)
26	22, 25	fsumnn0cl 14314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℕ0)
27	26	nn0red 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
29	28, 19	readdcld 9948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ∈ ℝ)
30	18	nnrpd 11746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ+)
31	8, 30	ltaddrpd 11781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
32	26	nn0ge0d 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
34	8, 28, 19, 33	leadd1dd 10520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (0 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
35	8, 20, 29, 31, 34	ltletrd 10076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
36		difsnid 4282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
38	37	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
39	38	sumeq1d 14279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵)
40	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
41		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
42		neldifsnd 4263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}))
43		simpl 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝜑)
44	43, 24, 2	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ)
45	44	nncnd 10913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	45	adantlr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
47		nnsscn 10902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ℕ ⊆ ℂ)
49	48, 18	sseldd 3569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
50	9, 10, 40, 41, 42, 46, 15, 49	fsumsplitsn 38637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵))
51	39, 50	eqtr2d 2645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
52	35, 51	breqtrd 4609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
53	52	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
54	53	exlimdv 1848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐴 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
55	7, 54	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
56	4, 55	jca 553	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
57		elnnnn0b 11214	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
58	56, 57	sylibr 223	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ⦋csb 3499   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265

This theorem is referenced by: (None)