Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumnncl 38638
Description: Closure of a non empty, finite sum of positive integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumnncl.an0 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
fsumnncl.afi (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumnncl.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
fsumnncl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumnncl
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumnncl.afi . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumnncl.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11228 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
41, 3fsumnn0cl 14314 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ0)
5 fsumnncl.an0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
6 n0 3890 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗𝐴)
75, 6sylib 207 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗 𝑗𝐴)
8 0red 9920 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 ∈ ℝ)
9 nfv 1830 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
10 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
1110nfel1 2765 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ
129, 11nfim 1813 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ)
13 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
1413anbi2d 736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
15 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
1615eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ))
1714, 16imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ)))
1812, 17, 2chvar 2250 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ)
1918nnred 10912 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
208, 19readdcld 9948 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (0 + 𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ ℝ)
21 diffi 8077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
221, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
23 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}) → 𝑘𝐴)
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝑘𝐴)
2524, 3syldan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2622, 25fsumnn0cl 14314 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℕ0)
2726nn0red 11229 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
2928, 19readdcld 9948 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ ℝ)
3018nnrpd 11746 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ+)
318, 30ltaddrpd 11781 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 < (0 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
3226nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
3332adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
348, 28, 19, 33leadd1dd 10520 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (0 + 𝑗 / 𝑘𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
358, 20, 29, 31, 34ltletrd 10076 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 < (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
36 difsnid 4282 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
3837eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
3938sumeq1d 14279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵)
4022adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
41 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
42 neldifsnd 4263 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}))
43 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝜑)
4443, 24, 2syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ)
4544nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4645adantlr 747 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
47 nnsscn 10902 . . . . . . . . . . 11 ℕ ⊆ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → ℕ ⊆ ℂ)
4948, 18sseldd 3569 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
509, 10, 40, 41, 42, 46, 15, 49fsumsplitsn 38637 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
5139, 50eqtr2d 2645 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
5235, 51breqtrd 4609 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵)
5352ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝐴 → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
5453exlimdv 1848 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗 𝑗𝐴 → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
557, 54mpd 15 . . 3 (𝜑 → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵)
564, 55jca 553 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
57 elnnnn0b 11214 . 2 𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
5856, 57sylibr 223 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  csb 3499  cdif 3537  cun 3538  wss 3540  c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cn 10897  0cn0 11169  Σcsu 14264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator