Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgpsumunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpsumunsn 41933
 Description: Extract a summand/factor from the group sum for the multiplicative group of a unital ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpsumunsn.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t · = (.r𝑅)
mgpsumunsn.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i (𝜑𝐼𝑁)
mgpsumunsn.a ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumunsn.e (𝑘 = 𝐼𝐴 = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
mgpsumunsn (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumunsn
StepHypRef Expression
1 mgpsumunsn.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑁)
2 difsnid 4282 . . . . . 6 (𝐼𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = 𝑁)
43eqcomd 2616 . . . 4 (𝜑𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
54mpteq1d 4666 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑁𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴))
65oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)))
7 mgpsumunsn.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
97, 8mgpbas 18318 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
10 mgpsumunsn.t . . . 4 · = (.r𝑅)
117, 10mgpplusg 18316 . . 3 · = (+g𝑀)
12 mgpsumunsn.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
137crngmgp 18378 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
15 mgpsumunsn.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
16 diffi 8077 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
18 eldifi 3694 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘𝑁)
19 mgpsumunsn.a . . . 4 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
2018, 19sylan2 490 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
21 neldifsnd 4263 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
22 mgpsumunsn.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
23 mgpsumunsn.e . . 3 (𝑘 = 𝐼𝐴 = 𝑋)
249, 11, 14, 17, 20, 1, 21, 22, 23gsumunsn 18182 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))
256, 24eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  Basecbs 15695  .rcmulr 15769   Σg cgsu 15924  CMndccmn 18016  mulGrpcmgp 18312  CRingccrg 18371 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-cring 18373 This theorem is referenced by:  mgpsumz  41934  mgpsumn  41935
 Copyright terms: Public domain W3C validator