Theorem dvmptfprodlem 38834

Description: Induction step for dvmptfprod 38835. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfprodlem.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dvmptfprodlem.iph	⊢ Ⅎ𝑖𝜑
dvmptfprodlem.jph	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
dvmptfprodlem.if	⊢ Ⅎ𝑖𝐹
dvmptfprodlem.jg	⊢ Ⅎ𝑗𝐺
dvmptfprodlem.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
dvmptfprodlem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
dvmptfprodlem.db	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
dvmptfprodlem.ss	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
dvmptfprodlem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptfprodlem.c	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvp	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
dvmptfprodlem.14	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
dvmptfprodlem.dvf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐺))
dvmptfprodlem.f	⊢ (𝑖 = 𝐸 → 𝐴 = 𝐹)
dvmptfprodlem.cg	⊢ (𝑗 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dvmptfprodlem	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗,𝑥   𝑖,𝐸,𝑗,𝑥   𝑗,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐼(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem dvmptfprodlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptfprodlem.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		dvmptfprodlem.iph	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
3		nfcv 2751	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖𝑥
4		nfcv 2751	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖𝑋
5	3, 4	nfel 2763	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑥 ∈ 𝑋
6	2, 5	nfan 1816	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
7		dvmptfprodlem.if	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐹
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑖𝐹)
9		dvmptfprodlem.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
10		snfi 7923	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ∈ Fin)
12		unfi 8112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ {𝐸} ∈ Fin) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
13	9, 11, 12	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin)
15		simpll 786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝜑)
16		dvmptfprodlem.ss	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
17	16	sselda 3568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
18	17	adantlr 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
19		simplr 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
20		dvmptfprodlem.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	15, 18, 19, 20	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		dvmptfprodlem.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
23		snidg 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ V → 𝐸 ∈ {𝐸})
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝐸})
25		elun2 3743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ {𝐸} → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
28		dvmptfprodlem.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → 𝐴 = 𝐹)
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹)
30	6, 8, 14, 21, 27, 29	fprodsplit1f 14560	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
31		difundir 3839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸}))
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})))
33		dvmptfprodlem.db	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
34		difsn 4269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝐸}) = 𝐷)
36		difid 3902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({𝐸} ∖ {𝐸}) = ∅)
38	35, 37	uneq12d 3730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∖ {𝐸}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝐸})) = (𝐷 ∪ ∅))
39		un0 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∪ ∅) = 𝐷)
41	32, 38, 40	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) = 𝐷)
42	41	prodeq1d 14490	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 = ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴)
43	42	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
45	30, 44	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴 = (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
46	1, 45	mpteq2da 4671	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴)))
47	46	oveq2d 6565	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))))
48		dvmptfprodlem.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
49	16, 26	sseldd 3569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐼)
50	49	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝐼)
51		simpl 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝜑)
52		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
53	51, 50, 52	3jca 1235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
54		nfcv 2751	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝐸
55		nfv 1830	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 𝐸 ∈ 𝐼
56	2, 55, 5	nf3an 1819	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
57		nfcv 2751	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖ℂ
58	7, 57	nfel 2763	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝐹 ∈ ℂ
59	56, 58	nfim 1813	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
60		ancom 465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) ↔ (𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
61	60	imbi1i 338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐴 = 𝐹))
62		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 𝐹 ↔ 𝐹 = 𝐴)
63	62	imbi2i 325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
64	61, 63	bitri 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 = 𝐸) → 𝐴 = 𝐹) ↔ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴))
65	29, 64	mpbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
66	65	3adantr2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
67	66	3adant2 1073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 = 𝐴)
68		simp3 1056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
69		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ 𝐸 ∈ 𝐼))
70	69	3anbi2d 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
71	70	imbi1d 330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
72	71	biimpa 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
73	72	3adant3 1074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ))
74	68, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
75	67, 74	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝐸 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ ℂ)
76	75	3exp 1256	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
77	20	2a1i 12	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)))
78	76, 77	impbid 201	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)))
79	54, 59, 78, 20	vtoclgf 3237	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐼 → ((𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ))
80	50, 53, 79	sylc 63	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ℂ)
81		dvmptfprodlem.14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ ℂ)
82		dvmptfprodlem.dvf	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐺))
83	51, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ Fin)
84	51	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝜑)
85	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
86		elun1 3742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐷 → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
87	86	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
88	85, 87	sseldd 3569	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝐼)
89	88	adantlr 747	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝐼)
90	52	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝑋)
91	84, 89, 90, 20	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
92	6, 83, 91	fprodclf 14562	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴 ∈ ℂ)
93		dvmptfprodlem.jph	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
94		nfv 1830	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ∈ 𝑋
95	93, 94	nfan 1816	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
96		dvmptfprodlem.c	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
97		diffi 8077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
98	9, 97	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
99	98	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
100		eldifi 3694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) → 𝑖 ∈ 𝐷)
101	100	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝑖 ∈ 𝐷)
102	101, 91	syldan 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
103	6, 99, 102	fprodclf 14562	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
104	103	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
105	96, 104	mulcld 9939	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
106	95, 83, 105	fsumclf 38633	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
107		dvmptfprodlem.dvp	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴)))
108	1, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107	dvmptmulf 38827	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴) + (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))))
109		dvmptfprodlem.jg	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐺
110		nfcv 2751	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 ·
111		nfcv 2751	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴
112	109, 110, 111	nfov 6575	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
113	51, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ V)
114	51, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
115		diffi 8077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∈ Fin → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
116	13, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
117	116	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
118		eldifi 3694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
119	118	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
120	119, 21	syldan 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
121	6, 117, 120	fprodclf 14562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
122	121	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 ∈ ℂ)
123	96, 122	mulcld 9939	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
124		dvmptfprodlem.cg	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → 𝐶 = 𝐺)
125		sneq 4135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → {𝑗} = {𝐸})
126	125	difeq2d 3690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}))
127	126	prodeq1d 14490	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)
128	124, 127	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴))
129	41, 9	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
130	129	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) ∈ Fin)
131	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝜑)
132	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → (𝐷 ∪ {𝐸}) ⊆ 𝐼)
133		eldifi 3694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸}) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸}))
135	132, 134	sseldd 3569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
136	135	adantlr 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑖 ∈ 𝐼)
137	52	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝑥 ∈ 𝑋)
138	131, 136, 137, 20	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})) → 𝐴 ∈ ℂ)
139	6, 130, 138	fprodclf 14562	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴 ∈ ℂ)
140	81, 139	mulcld 9939	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) ∈ ℂ)
141	95, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140	fsumsplitsn 38637	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)))
142		difundir 3839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗}))
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})))
144		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑗 ∈ 𝐷
145	1, 144	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷)
146		elsni 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝑥 = 𝐸)
147	146	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐸} → 𝐸 = 𝑥)
148	147	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑥)
149		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑥 = 𝑗)
150		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗 = 𝑗)
151	148, 149, 150	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐸} ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
152	151	adantll 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 = 𝑗)
153		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝐷)
154	152, 153	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → 𝐸 ∈ 𝐷)
155	33	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) ∧ 𝑥 = 𝑗) → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
156	154, 155	pm2.65da 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 = 𝑗)
157		velsn 4141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑗} ↔ 𝑥 = 𝑗)
158	156, 157	sylnibr 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝐸}) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
159	158	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝐸} → ¬ 𝑥 ∈ {𝑗}))
160	145, 159	ralrimi 2940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
161		disj 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐸} ¬ 𝑥 ∈ {𝑗})
162	160, 161	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅)
163		disjdif2 3999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({𝐸} ∩ {𝑗}) = ∅ → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ({𝐸} ∖ {𝑗}) = {𝐸})
165	164	uneq2d 3729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ ({𝐸} ∖ {𝑗})) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
166	143, 165	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗}) = ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸}))
167	166	prodeq1d 14490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
168	167	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴)
169		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑗 ∈ 𝐷
170	6, 169	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷)
171	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐷 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
172	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝜑)
173	172, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝐸 ∈ V)
174		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐸 ∈ 𝐷)
175	174	intnanrd 954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → ¬ (𝐸 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → ¬ (𝐸 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
177		eldif 3550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}) ↔ (𝐸 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐸 ∈ {𝑗}))
178	176, 177	sylnibr 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝐸 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
179	33, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
180	172, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗}))
181	102	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) ∧ 𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
182	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝐹 ∈ ℂ)
183	170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182	fprodsplitsn 14559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∖ {𝑗}) ∪ {𝐸})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
184		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹) = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
185	168, 183, 184	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴 = (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹))
186	185	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
187	96, 104, 182	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)))
188	187	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · (∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴 · 𝐹)) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
189	186, 188	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
190	189	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑗 ∈ 𝐷 → (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
191	95, 190	ralrimi 2940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
192	191	sumeq2d 14280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = Σ𝑗 ∈ 𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
193	95, 83, 80, 105	fsummulc1f 38635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = Σ𝑗 ∈ 𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
194	193	eqcomd 2616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 ((𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
195		eqidd 2611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) = (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
196	192, 194, 195	3eqtrd 2648	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) = (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))
197	106, 80	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹) ∈ ℂ)
198	196, 197	eqeltrd 2688	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) ∈ ℂ)
199	198, 140	addcomd 10117	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴) + (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
200	42	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
201	200	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) = (𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴))
202	201, 196	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝐸})𝐴) + Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)) = ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴) + (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)))
203	141, 199, 202	3eqtrrd 2649	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴) + (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹)) = Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴))
204	1, 203	mpteq2da 4671	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐺 · ∏𝑖 ∈ 𝐷 𝐴) + (Σ𝑗 ∈ 𝐷 (𝐶 · ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∖ {𝑗})𝐴) · 𝐹))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))
205	47, 108, 204	3eqtrd 2648	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ∏𝑖 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑗 ∈ (𝐷 ∪ {𝐸})(𝐶 · ∏𝑖 ∈ ((𝐷 ∪ {𝐸}) ∖ {𝑗})𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814   + caddc 9818   · cmul 9820  Σcsu 14264  ∏cprod 14474   D cdv 23433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-prod 14475  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437

This theorem is referenced by:  dvmptfprod  38835