Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumesum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumesum 29448
 Description: Relate a group sum on (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) to a finite extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumesum.0 𝑘𝜑
gsumesum.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumesum.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
gsumesum (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ*𝑘𝐴𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumesum
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumesum.0 . . 3 𝑘𝜑
2 nfcv 2751 . . 3 𝑘𝐴
3 gsumesum.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 gsumesum.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5 eqidd 2611 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
61, 2, 3, 4, 5esumval 29435 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ))
7 xrltso 11850 . . . 4 < Or ℝ*
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
9 iccssxr 12127 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10 xrge0base 29016 . . . . 5 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
11 xrge0cmn 19607 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
134ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
141, 13ralrimi 2940 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1510, 12, 3, 14gsummptcl 18189 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
169, 15sseldi 3566 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
17 pwidg 4121 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
183, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
1918, 3elind 3760 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
20 eqidd 2611 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
21 mpteq1 4665 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑘𝑥𝐵) = (𝑘𝐴𝐵))
2221oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
2322eqeq2d 2620 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))))
2423rspcev 3282 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
2519, 20, 24syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
26 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
27 ovex 6577 . . . . 5 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ V
2826, 27elrnmpti 5297 . . . 4 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))
2925, 28sylibr 223 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))))
30 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))))
31 mpteq1 4665 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (𝑘𝑥𝐵) = (𝑘𝑎𝐵))
3231oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
3332cbvmptv 4678 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
34 ovex 6577 . . . . . . 7 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ V
3533, 34elrnmpti 5297 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
3630, 35sylib 207 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
3711a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
38 inss2 3796 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
39 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4038, 39sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
41 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
421, 41nfan 1816 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
43 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝜑)
44 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
4544sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
4645elpwid 4118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎𝐴)
4746ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑎𝐴)
48 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝑎)
4947, 48sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝑘𝐴)
5043, 49, 4syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5150ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘𝑎𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
5242, 51ralrimi 2940 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘𝑎 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5310, 37, 40, 52gsummptcl 18189 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
549, 53sseldi 3566 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ ℝ*)
55 diffi 8077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑎) ∈ Fin)
563, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑎) ∈ Fin)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐴𝑎) ∈ Fin)
58 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑎)) → 𝜑)
59 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑎)) → 𝑘 ∈ (𝐴𝑎))
6059eldifad 3552 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑎)) → 𝑘𝐴)
6158, 60, 4syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑎)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6261ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
6342, 62ralrimi 2940 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴𝑎)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6410, 37, 57, 63gsummptcl 18189 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
659, 64sseldi 3566 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
66 elxrge0 12152 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
6766simprbi 479 . . . . . . . . . 10 (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)))
6864, 67syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)))
69 xraddge02 28911 . . . . . . . . . 10 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)))))
7069imp 444 . . . . . . . . 9 (((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
7154, 65, 68, 70syl21anc 1317 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
7271adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
73 simpll 786 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝜑)
7446adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎𝐴)
75 xrge00 29017 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
76 xrge0plusg 29018 . . . . . . . . . 10 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7711a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
783adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
79 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
801, 4, 79fmptdf 6294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
8180adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
8279fnmpt 5933 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘𝐴𝐵) Fn 𝐴)
8314, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) Fn 𝐴)
84 c0ex 9913 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ V)
8683, 3, 85fndmfifsupp 8171 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
8786adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑘𝐴𝐵) finSupp 0)
88 disjdif 3992 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∩ (𝐴𝑎)) = ∅
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 ∩ (𝐴𝑎)) = ∅)
90 undif 4001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝐴 ↔ (𝑎 ∪ (𝐴𝑎)) = 𝐴)
9190biimpi 205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐴 → (𝑎 ∪ (𝐴𝑎)) = 𝐴)
9291eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐴𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴𝑎)))
9392adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴𝑎)))
9410, 75, 76, 77, 78, 81, 87, 89, 93gsumsplit 18151 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎)))))
95 resmpt 5369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎) = (𝑘𝑎𝐵))
9695oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐴 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
9796adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)))
98 difss 3699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑎) ⊆ 𝐴
99 resmpt 5369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑎) ⊆ 𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)
101100oveq2i 6560 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎))) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎))) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵)))
10397, 102oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘𝐴𝐵) ↾ (𝐴𝑎)))) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
10494, 103eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
10573, 74, 104syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴𝑎) ↦ 𝐵))))
10672, 105breqtrrd 4611 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
107106ralrimiva 2949 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
108 r19.29r 3055 . . . . . 6 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))))
109 breq1 4586 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))))
110109biimpar 501 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
111110rexlimivw 3011 . . . . . 6 (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
112108, 111syl 17 . . . . 5 ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑎𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
11336, 107, 112syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
11416adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
11511a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
116 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
11738, 116sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
118 nfv 1830 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
1191, 118nfan 1816 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
120 simpll 786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
12144sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
122121ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
123122elpwid 4118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥𝐴)
124 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
125123, 124sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
126120, 125, 4syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
127126ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
128119, 127ralrimi 2940 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12910, 115, 117, 128gsummptcl 18189 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
1309, 129sseldi 3566 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ*)
131130ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ*)
13226rnmptss 6299 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*)
133131, 132syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))) ⊆ ℝ*)
134133sselda 3568 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
135 xrltnle 9984 . . . . . 6 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵))))
136135con2bid 343 . . . . 5 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) < 𝑦))
137114, 134, 136syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) < 𝑦))
138113, 137mpbid 221 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵)))) → ¬ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) < 𝑦)
1398, 16, 29, 138supmax 8256 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝑥𝐵))), ℝ*, < ) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
1406, 139eqtr2d 2645 1 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ*𝑘𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   Or wor 4958  ran crn 5039   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  supcsup 8229  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049   ↾s cress 15696   Σg cgsu 15924  ℝ*𝑠cxrs 15983  CMndccmn 18016  Σ*cesum 29416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-cn 20841  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-tsms 21740  df-esum 29417 This theorem is referenced by:  esumlub  29449
 Copyright terms: Public domain W3C validator