Theorem xrltso 11850

Description: 'Less than' is a strict ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrltso	⊢ < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri 11848	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		xrlttr 11849	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 4991	1 ⊢ < Or ℝ*

Syntax hints:   Or wor 4958  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  xrlttri2  11851  xrlttri3  11852  xrltne  11870  xmullem  11966  xmulasslem  11987  supxr  12015  supxrcl  12017  supxrun  12018  supxrmnf  12019  supxrunb1  12021  supxrunb2  12022  supxrub  12026  supxrlub  12027  infxrcl  12035  infxrlb  12036  infxrgelb  12037  xrinf0  12039  infmremnf  12044  limsupval  14053  limsupgval  14055  limsupgre  14060  ramval  15550  ramcl2lem  15551  prdsdsfn  15948  prdsdsval  15961  imasdsfn  15997  imasdsval  15998  prdsmet  21985  xpsdsval  21996  prdsbl  22106  tmsxpsval2  22154  nmoval  22329  xrge0tsms2  22446  metdsval  22458  iccpnfhmeo  22552  xrhmeo  22553  ovolval  23049  ovolf  23057  ovolctb  23065  itg2val  23301  mdegval  23627  mdegldg  23630  mdegxrf  23632  mdegcl  23633  aannenlem2  23888  nmooval  27002  nmoo0  27030  nmopval  28099  nmfnval  28119  nmop0  28229  nmfn0  28230  xrsupssd  28914  xrge0infssd  28916  infxrge0lb  28919  infxrge0glb  28920  infxrge0gelb  28921  xrsclat  29011  xrge0iifiso  29309  esumval  29435  esumnul  29437  esum0  29438  gsumesum  29448  esumsnf  29453  esumpcvgval  29467  esum2d  29482  omsfval  29683  omsf  29685  oms0  29686  omssubaddlem  29688  omssubadd  29689  mblfinlem2  32617  ovoliunnfl  32621  voliunnfl  32623  volsupnfl  32624  itg2addnclem  32631  radcnvrat  37535  infxrglb  38497  xrgtso  38502  infxr  38524  infxrunb2  38525  etransclem48  39175  sge0val  39259  sge0z  39268  sge00  39269  sge0sn  39272  sge0tsms  39273  ovnval2  39435