Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrafilem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrafilem3 26009
 Description: Lemma 3 for cusgrafi 26010. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrafi.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
cusgrafi.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})
Assertion
Ref Expression
cusgrafilem3 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ 𝑃 ∈ Fin))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥   𝑥,𝑃   𝑊,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐹(𝑥,𝑎)

Proof of Theorem cusgrafilem3
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 8077 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
2 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝑁𝑉) ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ 𝑉 ∈ Fin)
3 snfi 7923 . . . . . . . 8 {𝑁} ∈ Fin
4 difinf 8115 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
52, 3, 4sylancl 693 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝑁𝑉) ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
65ex 449 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
76con4d 113 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
81, 7impbid2 215 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → (𝑉 ∈ Fin ↔ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
9 cusgrafi.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})
10 difexg 4735 . . . . . . . . . 10 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V)
11 mptexg 6389 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑉𝑊 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
139, 12syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝑉𝑊𝐹 ∈ V)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → 𝐹 ∈ V)
15 cusgrafi.p . . . . . . . 8 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
1615, 9cusgrafilem2 26008 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → 𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃)
17 f1oeq1 6040 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃))
1817spcegv 3267 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V → (𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃 → ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃))
1914, 16, 18sylc 63 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃)
20 bren 7850 . . . . . 6 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃)
2119, 20sylibr 223 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃)
22 enfi 8061 . . . . 5 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
248, 23bitrd 267 . . 3 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
2524notbid 307 . 2 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → (¬ 𝑉 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑃 ∈ Fin))
2625biimpd 218 1 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ 𝑃 ∈ Fin))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  –1-1-onto→wf1o 5803   ≈ cen 7838  Fincfn 7841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845 This theorem is referenced by:  cusgrafi  26010
 Copyright terms: Public domain W3C validator