Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacp1lem1 30415
 Description: Lemma for subfacp1 30422. The set 𝐾 together with {1, 𝑀} partitions the set 1...(𝑁 + 1). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem1 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (#‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem1
StepHypRef Expression
1 disj 3969 . . . 4 ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐾 ¬ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})
2 eldifi 3694 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
3 elfzle1 12215 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 2 ≤ 𝑥)
4 1lt2 11071 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
5 1re 9918 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
6 2re 10967 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
75, 6ltnlei 10037 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
84, 7mpbi 219 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ≤ 1
9 breq2 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (2 ≤ 𝑥 ↔ 2 ≤ 1))
108, 9mtbiri 316 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ¬ 2 ≤ 𝑥)
1110necon2ai 2811 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 𝑥𝑥 ≠ 1)
122, 3, 113syl 18 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥 ≠ 1)
13 eldifsni 4261 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → 𝑥𝑀)
1412, 13jca 553 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) → (𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥𝑀))
15 subfacp1lem1.k . . . . . . 7 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
1614, 15eleq2s 2706 . . . . . 6 (𝑥𝐾 → (𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥𝑀))
17 neanior 2874 . . . . . 6 ((𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥𝑀) ↔ ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
1816, 17sylib 207 . . . . 5 (𝑥𝐾 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
19 vex 3176 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
2019elpr 4146 . . . . 5 (𝑥 ∈ {1, 𝑀} ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑀))
2118, 20sylnibr 318 . . . 4 (𝑥𝐾 → ¬ 𝑥 ∈ {1, 𝑀})
221, 21mprgbir 2911 . . 3 (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅
2322a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
24 uncom 3719 . . . 4 ({1} ∪ (𝐾 ∪ {𝑀})) = ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1})
25 1z 11284 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
26 fzsn 12254 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 (1...1) = {1}
2815uneq1i 3725 . . . . . 6 (𝐾 ∪ {𝑀}) = (((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀})
29 undif1 3995 . . . . . 6 (((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})
3028, 29eqtr2i 2633 . . . . 5 ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (𝐾 ∪ {𝑀})
3127, 30uneq12i 3727 . . . 4 ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = ({1} ∪ (𝐾 ∪ {𝑀}))
32 df-pr 4128 . . . . . . 7 {1, 𝑀} = ({1} ∪ {𝑀})
3332equncomi 3721 . . . . . 6 {1, 𝑀} = ({𝑀} ∪ {1})
3433uneq2i 3726 . . . . 5 (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (𝐾 ∪ ({𝑀} ∪ {1}))
35 unass 3732 . . . . 5 ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1}) = (𝐾 ∪ ({𝑀} ∪ {1}))
3634, 35eqtr4i 2635 . . . 4 (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = ((𝐾 ∪ {𝑀}) ∪ {1})
3724, 31, 363eqtr4i 2642 . . 3 ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = (𝐾 ∪ {1, 𝑀})
38 subfacp1lem1.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
3938snssd 4281 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑀} ⊆ (2...(𝑁 + 1)))
40 ssequn2 3748 . . . . . . 7 ({𝑀} ⊆ (2...(𝑁 + 1)) ↔ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (2...(𝑁 + 1)))
4139, 40sylib 207 . . . . . 6 (𝜑 → ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = (2...(𝑁 + 1)))
42 df-2 10956 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
4342oveq1i 6559 . . . . . 6 (2...(𝑁 + 1)) = ((1 + 1)...(𝑁 + 1))
4441, 43syl6eq 2660 . . . . 5 (𝜑 → ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀}) = ((1 + 1)...(𝑁 + 1)))
4544uneq2d 3729 . . . 4 (𝜑 → ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
46 subfacp1lem1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4746peano2nnd 10914 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
48 nnuz 11599 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
4947, 48syl6eleq 2698 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
50 eluzfz1 12219 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
51 fzsplit 12238 . . . . 5 (1 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
5249, 50, 513syl 18 . . . 4 (𝜑 → (1...(𝑁 + 1)) = ((1...1) ∪ ((1 + 1)...(𝑁 + 1))))
5345, 52eqtr4d 2647 . . 3 (𝜑 → ((1...1) ∪ ((2...(𝑁 + 1)) ∪ {𝑀})) = (1...(𝑁 + 1)))
5437, 53syl5eqr 2658 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
5542oveq2i 6560 . . 3 ((𝑁 + 1) − 2) = ((𝑁 + 1) − (1 + 1))
56 fzfi 12633 . . . . . . . . 9 (2...(𝑁 + 1)) ∈ Fin
57 diffi 8077 . . . . . . . . 9 ((2...(𝑁 + 1)) ∈ Fin → ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∈ Fin)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀}) ∈ Fin
5915, 58eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Fin
60 prfi 8120 . . . . . . 7 {1, 𝑀} ∈ Fin
61 hashun 13032 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Fin ∧ {1, 𝑀} ∈ Fin ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅) → (#‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = ((#‘𝐾) + (#‘{1, 𝑀})))
6259, 60, 22, 61mp3an 1416 . . . . . 6 (#‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = ((#‘𝐾) + (#‘{1, 𝑀}))
6354fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝐾 ∪ {1, 𝑀})) = (#‘(1...(𝑁 + 1))))
64 neeq1 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 𝑀 ≠ 1))
653, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 𝑥 ≠ 1)
6664, 65vtoclga 3245 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)) → 𝑀 ≠ 1)
6738, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ≠ 1)
6867necomd 2837 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≠ 𝑀)
69 1ex 9914 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
70 subfacp1lem1.x . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ V
71 hashprg 13043 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ V) → (1 ≠ 𝑀 ↔ (#‘{1, 𝑀}) = 2))
7269, 70, 71mp2an 704 . . . . . . . 8 (1 ≠ 𝑀 ↔ (#‘{1, 𝑀}) = 2)
7368, 72sylib 207 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘{1, 𝑀}) = 2)
7473oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐾) + (#‘{1, 𝑀})) = ((#‘𝐾) + 2))
7562, 63, 743eqtr3a 2668 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(1...(𝑁 + 1))) = ((#‘𝐾) + 2))
7647nnnn0d 11228 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
77 hashfz1 12996 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7876, 77syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(1...(𝑁 + 1))) = (𝑁 + 1))
7975, 78eqtr3d 2646 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝐾) + 2) = (𝑁 + 1))
8047nncnd 10913 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
81 2cnd 10970 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
82 hashcl 13009 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Fin → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
8359, 82ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘𝐾) ∈ ℕ0
8483nn0cni 11181 . . . . . 6 (#‘𝐾) ∈ ℂ
8584a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℂ)
8680, 81, 85subadd2d 10290 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 + 1) − 2) = (#‘𝐾) ↔ ((#‘𝐾) + 2) = (𝑁 + 1)))
8779, 86mpbird 246 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 2) = (#‘𝐾))
8846nncnd 10913 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
89 1cnd 9935 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9088, 89, 89pnpcan2d 10309 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (1 + 1)) = (𝑁 − 1))
9155, 87, 903eqtr3a 2668 . 2 (𝜑 → (#‘𝐾) = (𝑁 − 1))
9223, 54, 913jca 1235 1 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (#‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  subfacp1lem2a  30416  subfacp1lem3  30418  subfacp1lem4  30419
 Copyright terms: Public domain W3C validator