Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wspniunwspnon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspniunwspnon 41130
 Description: The set of nonempty simple paths of fixed length is the double union of the simple paths of the fixed length between different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wspniunwspnon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wspniunwspnon ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = 𝑥𝑉 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem wspniunwspnon
Dummy variables 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11176 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 wspniunwspnon.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32wspthsnwspthsnon 41122 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
41, 3sylan 487 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
5 wspthsnonn0vne 41124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅) → 𝑥𝑦)
65ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅ → 𝑥𝑦))
76adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → ((𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅ → 𝑥𝑦))
8 ne0i 3880 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) → (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ≠ ∅)
97, 8impel 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)) → 𝑥𝑦)
109necomd 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)) → 𝑦𝑥)
1110ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) → 𝑦𝑥))
1211pm4.71rd 665 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ (𝑦𝑥𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))))
1312rexbidv 3034 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (∃𝑦𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦𝑉 (𝑦𝑥𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))))
14 rexdifsn 4264 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦𝑉 (𝑦𝑥𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
1513, 14syl6bbr 277 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (∃𝑦𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
1615rexbidv 3034 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (∃𝑥𝑉𝑦𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
17 vex 3176 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
18 eleq1 2676 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑤 → (𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
1918rexbidv 3034 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
2019rexbidv 3034 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑤 → (∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)))
2117, 20elab 3319 . . . . 5 (𝑤 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)} ↔ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
2216, 21syl6bbr 277 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (∃𝑥𝑉𝑦𝑉 𝑤 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) ↔ 𝑤 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)}))
234, 22bitrd 267 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑤 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ {𝑝 ∣ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)}))
2423eqrdv 2608 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑝 ∣ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)})
25 dfiunv2 4492 . 2 𝑥𝑉 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦) = {𝑝 ∣ ∃𝑥𝑉𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})𝑝 ∈ (𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦)}
2624, 25syl6eqr 2662 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐺𝑈) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = 𝑥𝑉 𝑦 ∈ (𝑉 ∖ {𝑥})(𝑥(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {csn 4125  ∪ ciun 4455  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Vtxcvtx 25673   WSPathsN cwwspthsn 41031   WSPathsNOn cwwspthsnon 41032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-wlkson 40802  df-trls 40901  df-trlson 40902  df-pths 40923  df-spths 40924  df-spthson 40926  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-wwlksnon 41035  df-wspthsn 41036  df-wspthsnon 41037 This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  41497
 Copyright terms: Public domain W3C validator