Theorem sumeq2dv 14281

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2dv.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2dv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2dv.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 14280	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-sum 14265

This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  14282  2sumeq2dv  14283  sumeq12dv  14284  sumeq12rdv  14285  fsumf1o  14301  fsumss  14303  fsumsplit  14318  isummulc1  14336  isumdivc  14337  isumge0  14339  fsum2dlem  14343  fsumshftm  14355  fsum0diag2  14357  fsummulc1  14359  fsumdivc  14360  fsumneg  14361  fsumsub  14362  fsum2mul  14363  telfsumo2  14376  fsumparts  14379  hashiun  14395  ackbijnn  14399  binomlem  14400  binom1p  14402  incexclem  14407  incexc  14408  incexc2  14409  isum1p  14412  arisum  14431  trireciplem  14433  geoserg  14437  geo2sum  14443  mertenslem1  14455  mertenslem2  14456  mertens  14457  binomfallfaclem2  14610  binomrisefac  14612  bpolylem  14618  bpolydiflem  14624  fsumkthpow  14626  efaddlem  14662  rpnnen2lem10  14791  rpnnen2lem11  14792  fsumdvds  14868  pwp1fsum  14952  phisum  15333  pcfac  15441  ramcl  15571  lagsubg2  17478  sylow2a  17857  rrxcph  22988  trirn  22991  rrxmval  22996  rrxmet  22999  ovoliunnul  23082  ovolicc2lem4  23095  uniioombllem4  23160  vitalilem5  23187  itg1addlem4  23272  itg1addlem5  23273  itg1mulc  23277  itg10a  23283  itg1climres  23287  itgss  23384  itgeqa  23386  itgsplit  23408  elply2  23756  elplyd  23762  plyeq0lem  23770  plyaddlem1  23773  plymullem1  23774  coeeulem  23784  coeeq2  23802  coemullem  23810  coe1termlem  23818  plycjlem  23836  plyrecj  23839  dvply1  23843  elqaalem3  23880  aareccl  23885  aannenlem1  23887  taylpval  23925  dvtaylp  23928  pserdvlem2  23986  pserdv2  23988  abelthlem8  23997  abelthlem9  23998  abelth  23999  logtayl  24206  leibpi  24469  birthdaylem2  24479  amgmlem  24516  emcllem5  24526  fsumharmonic  24538  lgamcvg2  24581  ftalem5  24603  basellem3  24609  basellem8  24614  sgmval2  24669  fsumdvdscom  24711  dvdsflsumcom  24714  musum  24717  musumsum  24718  muinv  24719  fsumdvdsmul  24721  sgmppw  24722  1sgmprm  24724  chtlepsi  24731  pclogsum  24740  vmasum  24741  logfac2  24742  chpval2  24743  chpchtsum  24744  logexprlim  24750  logfacrlim2  24751  perfectlem2  24755  dchrsum2  24793  sumdchr2  24795  dchrhash  24796  dchr2sum  24798  sum2dchr  24799  pcbcctr  24801  bposlem2  24810  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  chebbnd1lem1  24958  rplogsumlem1  24973  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrisumlem1  24978  dchrisumlem2  24979  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem1  24984  dchrvmasum2lem  24985  dchrvmasum2if  24986  dchrvmasumiflem1  24990  dchrvmasumiflem2  24991  dchrisum0flblem1  24997  dchrisum0fno1  25000  rpvmasum2  25001  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  dchrisum0lem3  25008  dchrisum0  25009  rplogsum  25016  mudivsum  25019  mulogsumlem  25020  mulogsum  25021  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem2  25024  mulog2sumlem3  25025  vmalogdivsum2  25027  vmalogdivsum  25028  2vmadivsumlem  25029  logsqvma  25031  logsqvma2  25032  selberglem1  25034  selberglem2  25035  selberg  25037  selberg2  25040  selberg3lem1  25046  selberg4lem1  25049  selberg4  25050  pntrsumo1  25054  selbergr  25057  selberg3r  25058  selberg4r  25059  selberg34r  25060  pntsval2  25065  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntpbnd1  25075  pntlemk  25095  pntlemo  25096  axcgrrflx  25594  axcgrid  25596  axsegconlem1  25597  axsegconlem9  25605  ax5seglem1  25608  ax5seglem2  25609  ax5seglem9  25617  axlowdimlem16  25637  axlowdimlem17  25638  ecgrtg  25663  hashclwwlkn  26363  rusgranumwlks  26483  frghash2spot  26590  usgreghash2spotv  26593  usgreghash2spot  26596  numclwwlk4  26637  numclwwlk6  26640  indsum  29412  eulerpartlemsv1  29745  eulerpartlemsf  29748  eulerpartlemgs2  29769  eulerpartlemn  29770  plymulx0  29950  signsvfn  29985  subfaclim  30424  fwddifnp1  31442  knoppndvlem6  31678  rrnmet  32798  fsumshftdOLD  33256  jm2.22  36580  jm2.23  36581  flcidc  36763  binomcxplemnn0  37570  binomcxplemdvsum  37576  binomcxplemnotnn0  37577  mccllem  38664  isumneg  38669  sumnnodd  38697  dvnmul  38833  dvnprodlem2  38837  dvnprodlem3  38838  stoweidlem37  38930  dirkertrigeqlem2  38992  dirkertrigeqlem3  38993  fourierdlem81  39080  fourierdlem83  39082  fourierdlem93  39092  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  elaa2lem  39126  etransclem23  39150  etransclem24  39151  etransclem31  39158  etransclem32  39159  etransclem35  39162  etransclem46  39173  rrxtopnfi  39182  rrndistlt  39186  sge0z  39268  sge0fsummpt  39283  sge0sup  39284  sge0resplit  39299  sge0split  39302  sge0ltfirpmpt2  39319  omeiunltfirp  39409  carageniuncllem2  39412  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem3  39487  pwdif  40039  perfectALTVlem2  40165  nnsum3primesprm  40206  nnsum3primesgbe  40208  nnsum4primeseven  40216  rusgrnumwwlks  41177  fusgrhashclwwlkn  41263  frgrhash2wsp  41497  fusgreghash2wspv  41499  fusgreghash2wsp  41502  av-numclwwlk4  41540  av-numclwwlk6  41544  altgsumbc  41923  altgsumbcALT  41924  nn0sumshdiglemA  42211  nn0sumshdiglemB  42212  nn0sumshdig  42215  aacllem  42356  amgmwlem  42357