Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgraogt3nreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgraogt3nreg 26647
 Description: If a finite friendship graph has an order greater than 3, it cannot be k-regular for any k. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraogt3nreg ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝑉

Proof of Theorem frgraogt3nreg
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . . . . . . 8 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 𝑉 FriendGrph 𝐸)
2 simp2 1055 . . . . . . . 8 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 𝑉 ∈ Fin)
3 hashcl 13009 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
4 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
5 3re 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
7 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
84, 6, 73jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ))
98adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ))
10 3pos 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 3
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 0 < 3)
12 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 3 < (#‘𝑉))
13 lttr 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) → ((0 < 3 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 0 < (#‘𝑉)))
1413imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) ∧ (0 < 3 ∧ 3 < (#‘𝑉))) → 0 < (#‘𝑉))
159, 11, 12, 14syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 0 < (#‘𝑉))
1615ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → 0 < (#‘𝑉)))
17 ltne 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 0)
184, 16, 17syl6an 566 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → (#‘𝑉) ≠ 0))
19 hasheq0 13015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
2019necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 ↔ 𝑉 ≠ ∅))
2120biimpcd 238 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅))
2218, 21syl6 34 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅)))
2322com23 84 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
243, 23mpcom 37 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅))
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
26253imp 1249 . . . . . . . 8 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 𝑉 ≠ ∅)
271, 2, 263jca 1235 . . . . . . 7 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
2827ad2antrl 760 . . . . . 6 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘 ∧ ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
29 simpl 472 . . . . . 6 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘 ∧ ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘)
30 frgraregord13 26646 . . . . . 6 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
3128, 29, 30syl2anc 691 . . . . 5 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘 ∧ ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
32 1red 9934 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 3 ∈ ℝ)
347adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
35 1lt3 11073 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 3
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 1 < 3)
3732, 33, 34, 36, 12lttrd 10077 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉))
3832, 37gtned 10051 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 1)
39 eqneqall 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ≠ 1 → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘))
4038, 39syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ((#‘𝑉) = 1 → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘))
41 ltne 10013 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℝ ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 3)
426, 41sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 3)
43 eqneqall 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) ≠ 3 → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘))
4442, 43syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ((#‘𝑉) = 3 → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘))
4540, 44jaod 394 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘))
4645ex 449 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘)))
473, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘)))
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘))))
49483imp 1249 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘))
5049ad2antrl 760 . . . . 5 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘 ∧ ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘))
5131, 50mpd 15 . . . 4 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘 ∧ ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘)
5251ex 449 . . 3 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘 → (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘))
53 ax-1 6 . . 3 (¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘 → (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘))
5452, 53pm2.61i 175 . 2 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘)
5554ralrimiva 2949 1 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝑘)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  #chash 12979   RegUSGrph crusgra 26450   FriendGrph cfrgra 26515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-reps 13161  df-csh 13386  df-s2 13444  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-spth 26039  df-wlkon 26042  df-spthon 26045  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280  df-2wlkonot 26385  df-2spthonot 26387  df-2spthsot 26388  df-vdgr 26421  df-rgra 26451  df-rusgra 26452  df-frgra 26516 This theorem is referenced by:  friendshipgt3  26648
 Copyright terms: Public domain W3C validator