Theorem gtned 10051

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltned.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem gtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
3		ltne 10013	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  ltned  10052  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  hashfun  13084  abssubne0  13904  rpnnen2lem9  14790  rpnnen2lem11  14792  coe1tmmul2  19467  iccpnfcnv  22551  iccpnfhmeo  22552  pmltpclem2  23025  voliunlem1  23125  dvferm1lem  23551  lhop2  23582  ftc1lem5  23607  vieta1lem2  23870  geolim3  23898  logtayl  24206  atanre  24412  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  perfectlem2  24755  axlowdimlem16  25637  clwwisshclwwlem  26334  eupap1  26503  frgraogt3nreg  26647  nn0sqeq1  28901  esumcvgre  29480  eulerpartlems  29749  ivthALT  31500  unbdqndv2lem2  31671  knoppndvlem17  31689  poimirlem11  32590  poimirlem12  32591  poimirlem24  32603  pellfundne1  36471  eliccelioc  38594  fmul01lt1lem1  38651  lptre2pt  38707  cncfiooicclem1  38779  cncfioobdlem  38782  dvnmul  38833  ditgeqiooicc  38852  itgioocnicc  38869  iblcncfioo  38870  wallispilem4  38961  wallispi  38963  wallispi2lem1  38964  wallispi2lem2  38965  wallispi2  38966  stirlinglem5  38971  fourierdlem4  39004  fourierdlem34  39034  fourierdlem41  39041  fourierdlem42  39042  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem61  39060  fourierdlem73  39072  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075  fourierdlem81  39080  fourierdlem82  39081  fourierdlem84  39083  fourierdlem93  39092  fourierdlem111  39110  fouriersw  39124  etransclem35  39162  qndenserrnbllem  39190  nnfoctbdjlem  39348  hoidmvlelem3  39487  hoiqssbllem2  39513  smfmullem1  39676  sfprmdvdsmersenne  40058  lighneallem2  40061  perfectALTVlem2  40165  clwwisshclwwslem  41234  av-frgraogt3nreg  41551